中级微观经济学4

Sooquid

已于 2024-12-24 16:46:53 修改

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分类专栏： Econ 文章标签：数学建模经验分享其他笔记

于 2024-12-24 16:43:24 首次发布

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外部效应

埃奇沃斯盒分析

科斯定理：假如所有人对金钱的偏好都是拟线性的，涉及外部效应的商品的有效数量独立于产权分配

钢厂生产钢的同时还制造污染
污染对于附近渔场造成不利影响
两个厂商都是价格接受者
$p_S$ 为钢铁市场价
$p_F$ 为鱼的市场价
$c_S(s,x)$ 为钢厂生产s单位钢铁同时制造x单位污染的成本
假如钢厂不面对污染的外部成本，则利润函数为：
$\Pi_{S}(s,x)=p_Ss-c_S(s,x)$
厂商的问题为：
$\underset{\mathrm{s},\mathrm{x}}{\max}\ \ \Pi_S(s,x)=p_Ss-c_S(s,x)$
利润最大化的一阶条件为：
$\Big(p_S=\frac{\partial c_S(s,x)}{\partial s}\Big)\land\Big(0=\frac{\partial c_S(s,x)}{\partial x}\Big)$
$p_S=\frac{\partial c_S(s,x)}{\partial s}$ 表示钢厂应该生产的产量为在该产量下的价格等于边际生产成本
$\frac{\partial c_S(s,x)}{\partial x}\le0$ 表明厂商的内部生产成本随着污染的增加而下降
$-\frac{\partial c_S(s,x)}{\partial x}\ge0$ 为其减少污染的边际成本（即增加污染的边际收益）
当厂商释放x单位污染，渔场捕获f单位鱼的成本为 $c_F(f,x)$ ；给定f， $c_F(f,x)$ 随着x的增加而增加；也即钢厂对渔场造成了负外部效应
渔场的利润函数为：
$\Pi_{F}(f;x)=p_Ff-c_F(f;x)$
渔场的问题在于：
$\underset{\mathrm{f}}{\max}\ \ \Pi_F(f;x)=p_Ff-c_F(f;x)$
利润最大化的一阶条件为：
$p_F=\frac{\partial c_F(f;x)}{\partial f}$
高污染导致渔场的边际成本上升，同时降低了它的产出水平和利润，这就是污染的外部成本

假设两家厂商合并成一家，新厂商的最大利润为：
$\Pi^m(s,f,x)=\Pi_S(s,x)+\Pi_F(f;x)$
合并改进效率
合并厂商污染的边际成本更高，因为其面对着由于污染导致渔场成本的上升，因此合并厂商制造的污染较少

假设渔场拥有河水的产权
那么它可以将其在竞争性市场以 $p_x$ 的价格出售
令渔场的利润函数为：
$\Pi_F(f,x)=p_ff-f^2-xf+p_xx$
给定 $p_f$ 和 $p_x$ ，利润最大化条件：
$\frac{\partial \Pi_F}{\partial f}=p_f-2f-x=0$ $\frac{\partial \Pi_F}{\partial x}=-f+p_x=0$
因此 $f^*=p_x$ 为鱼的供给量， $x_S^*=p_f-2p_x$ 为污染权供给量
钢厂必须为一单位污染物购买一单位排污权，因此令其利润函数为：
$\Pi_S(s,x)=p_Ss-s^2-(x-4)^2-p_xx$
给定 $p_f$ 和 $p_x$ ，利润最大化条件：
$\frac{\partial \Pi_S}{\partial s}=p_s-2s=0$ $\frac{\partial \Pi_S}{\partial x}=-2(x-4)-p_x=0$
因此 $s^*=\frac{p_s}{2}$ 为钢铁供应， $x_D^*=4-\frac{p_x}{2}$ 为排污权需求
在一个排污权的竞争性市场上，价格 $p_x$ 必然能市场出清，因此均衡时：
$x_D^*=4-\frac{p_x}{2}=p_f-2p_x=x_S^*$
排污权的市场出清价格为：
$p_x=\frac{2p_f-8}{3}$
均衡时排污权的交易量为：
$x_D^*=x_S^*=\frac{16-p_f}{3}$
假设钢厂拥有河流产权
- 考虑的利润函数是线性的，也是拟线性的，因此不改变分配结果
- 产权拥有者变得更加富有

假设一个村庄的所有成员共同拥有一个放牧草地的产权
村民在草地上共同饲养牛
当放牧 $c$ 头牛时，总的牛奶产量为 $f (c)$ ，其中 $f'>0,\ f''<0$
假定牛奶价格为1，放牧牛的成本为 $p_c$ ，整个村庄的利润函数为：
$\Pi(c)=f(c)-p_cc$
村庄面临的问题为：
$\underset{c\ge0}{\max}\ \Pi(c)=f(c)-p_cc$
收入最大化的牛群放牧量 $c = c *$ 满足：
$f'(c)=p_c$
即放牧牛的边际收益必须与放牧牛的边际成本相等
此时，放牧每头牛的收益为：
$\frac{\Pi^*(c)}{c^*}=\frac{f(c^*)-p_cc^*}{c^*}=\frac{f(c^*)}{c^*}-p_c>0$
因为 $f'>0,\ f''<0$ ，所以再放牧一头牛的经济利润为正
当无人拥有公共场地时，进入不受限制
只有当多放牧一头牛的经济利润为0时，进入才停止，即
$\frac{\Pi(c)}{c}=\frac{f(c)-p_cc}{c}=\frac{f(c)}{c}-p_c=0$
当一个村民多放牧一头牛时，他的收入上升： $\frac{f(c+1)}{c+1}-p_c$ ，但其他村民的收入下降
每位其他居民收入变化为： $\frac{f(c+1)}{c+1}-\frac{f(c)}{c}<0$
增加放牧的村民没有考虑他的行为给其他村民带来的负的外部性
现代公共品悲剧包括：
- 在公海过度捕捞
- 在公共林地过度伐木
- 过多使用公共公园
- 城市交通堵塞