中级微观经济学2

消费者剩余

当你进入市场后，你将会支付你从交易中所获得福利的货币价值

交易所获福利的货币测度

• 三种测量方法
  • 消费者剩余
  • 等价变化
  • 补偿变化
• 在一些特殊情况下，这三种测度结果一致

所获等价效用

• 假设汽油购买的最小单位为一加仑
• $r_1$表示消费者为购买第一加仑汽油所愿支付的价格，我们称之为第一加仑的保留价格
• $r_1$是第一加仑汽油带来的边际效用的等价货币价值
• 假设他现在已经有一加仑汽油，$r_2$表示消费者为购买第二加仑汽油所愿意支付的价格，这是他对第二加仑汽油的保留价格
• $r_2$是第二加仑汽油带来的边际效用的等价货币价值
• 一般来说，假如消费者已经有了$n-1$加仑汽油，$r_2$表示消费者为购买第$n$加仑汽油所愿支付的价格
• $r_n$是其购买第$n$加仑汽油所获边际效用的等价货币价值
• $r_1+r_2+\cdots +r_n$表示在汽油价格为0时，获取n加仑汽油发生的效用改变的等价货币价值
• 因此，$r_1+r_2+\cdots +r_n-p_{G}n$表示在价格条件$p_G$下，获取n加仑汽油发生效用改变的等价货币价值
• 一系列关于n的$r_1,r_2,\cdots ,r_n,\cdots$的点构成了消费者的保留价格曲线，它与消费者对于汽油的需求曲线并不完全一样

消费者剩余

• 消费者的一般需求曲线被用来作为对保留价格曲线的近似替代
  • 保留价格曲线有序地描述了连续单个商品（对消费者）的等价货币价值
  • 需求曲线描述了消费者同时购买q单位商品时愿意付出的最高价格

实例

$$\underset{x,y}{\max }u(x,y)=xy$$$$\mathrm{s}.\mathrm{t}.Px+y=m$$$$\Rightarrow x=\frac{m}{2P}\Rightarrow P(x)=\frac{m}{2x}$$

• $x=1$: $u(0,m)=u(1,m-r_1)\Rightarrow 0=m-r_1\Rightarrow r_1=m$
  $\Rightarrow (x=1,r_1=m)$ 在 $R(x)$ 上

• $x=2$: $u(1,m-r_2)=u(2,m-2r_2)\Rightarrow m-r_2=2m-4r_2\dots$
  $\Rightarrow (x=2,r_2=\frac{m}{3})$ 在 $R(x)$ 上 （隐含：已用 $r_2$ 买了 $1$ 单位）

  ……

• $x=n$: $u(n-1,m-(n-1)r_n)=u(n,m-n{r}_n)$
  $\Rightarrow (n-1)[m-(n-1)r_n]=n[m-n{r}_n]$
  $\Rightarrow (x=n,r_n=\frac{m}{2n-1})$ 在 $R(x)$ 上 （已用 $r_n$ 买了 $n-1$ 单位）

易知

• 需求曲线 $P(x)=\frac{m}{2x}$

• 保留价格曲线 $R(x)=\frac{m}{2x-1}$

• $R(x)$ 在 $P(x)$ 的上方

• 直觉：

  • 保留价格曲线 $R(x)$：买和不买（第 $x$ 个单位）之间无差异
  • 需求曲线 $P(x)$：购买（$x$ 单位）为了最大化效用

保留价格曲线下方表示所获净效用区域，与一般需求曲线下方对应的区域近似，使得我们可以用消费者剩余（一般需求曲线下方区域的面积）来对交易所获得的净效用进行近似测量

• 当消费者的效用函数是拟线性的，用需求曲线计算出的消费者剩余恰等于交易所获净效用的货币价值
• 拟线性效用函数下：给定价格体系，$x_1$与$m$和$x_2$均无关（内点解）
  $$\underset{x_1,x_2}{\max }u(x_1,x_2)=v(x_1)+x_2$$$$\mathrm{s}.\mathrm{t}.p_1{x}_1+x_2=m$$
  一阶条件为
  $$v^{\prime }(x_1)-p_1=0\Rightarrow p_1=v^{\prime }(x_1)$$$$\Rightarrow CS={\int }_0^{x_1^{\prime }}{v}^{\prime }(x_1)\mathrm{d}{x}_1-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }=v(x_1^{\prime })-v(0)-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }$$
  证明：CS与使用保留价格曲线计算结果一致

• 保留价格曲线，当效用为 $u(x,y)=xy$时
  $$u(0,m)=u(1,m-r_1)\Rightarrow 0=m-r_1\Rightarrow r_1=m$$因此，一般来说，$(r_1,\dots ,r_n)$ 与 $m$ 有关。
• 当效用函数为拟线性时，$u(x,y)=v(x)+y=v(x)+m-P_{x}x$
  • $x=1$:
    $$u(0,m)=u(1,m-r_1)\Rightarrow v(0)+m=v(1)+m-r_1$$$$\Rightarrow r_1=v(1)-v(0)$$
  • $x=2$:
    $$u(1,m-r_2)=u(2,m-2r_2)\Rightarrow v(1)+m-r_2=v(2)+m-2r_2$$$$\Rightarrow r_2=v(2)-v(1)\Rightarrow r_1+r_2=v(2)-v(0)$$
  • $x=3$:
    $$u(2,m-2r_3)=u(3,m-3r_3)\Rightarrow v(2)+m-2r_3=v(3)+m-3r_3$$$$\Rightarrow r_1+r_2+r_3=v(3)-v(0)$$因此，当效用函数为拟线性时，$(r_1,\dots ,r_n)$ 与 $m$无关。
• 当 $n=x_1^{\prime }$ 单价为 $p_1$ 时，以保留价格曲线计算的消费者福利为：
  $$(r_1+\cdots +r_{x_1^{\prime }})-p_1{x}_1^{\prime }=v(x_1^{\prime })-v(0)-p_1{x}_1^{\prime }=CS$$

当消费者效用曲线是关于商品1的拟线性效用函数时，消费者剩余是消费者消费商品1所获效用的货币价值的精确测量；否则，消费者剩余是一个近似表示

消费者剩余的损失

由于商品价格$p_1$的改变所导致的消费者总效用的改变是消费者剩余改变的近似
$$\Delta CS={\int }_{p_1^{\prime }}^{p_1^{\prime \prime }}{x}_1^{\ast }(p_1)\mathrm{d}{p}_1$$

补偿变化与等价变化

由于价格变动所导致的效用变化的货币价值有两种测度方法，分别是补偿变化与等价变化

补偿变化

在新价格条件下能使消费者效用保持与原有状态相同时所需增加的收入
$p_1$上升，为了维持其原有效用水平，在新价格水平下，收入增加
$$m_1=p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }+p_2{x}_2^{\prime }=p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime }+p_2{x}_2^{\prime \prime }(p_1^{\prime }<p_1^{\prime \prime })$$$$m_2=p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime \prime }+p_2{x}_2^{\prime \prime \prime }$$$$u(x_1^{\prime },x_2^{\prime })=u(x_1^{\prime \prime \prime },x_2^{\prime \prime \prime })$$$$\Rightarrow CV=m_2-m_1$$

等价变化

$p_1$上升，为了维持其原有价格水平，放弃的最大收入
$$m_1=p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }+p_2{x}_2^{\prime }=p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime }+p_2{x}_2^{\prime \prime }(p_1^{\prime }<p_1^{\prime \prime })$$$$m_2=p_1^{\prime }{x}_1^{\prime \prime \prime }+p_2{x}_2^{\prime \prime \prime }$$$$u(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime })=u(x_1^{\prime \prime \prime },x_2^{\prime \prime \prime })$$$$\Rightarrow EV=m_1-m_2$$

消费者剩余、补偿变化与等价变化

• 当消费者的偏好为拟线性时，三种测量方法时一样的
  $$u(x_1,x_2)=v(x_1)+x_2$$$$CS(p_1^{\prime })=v(x_1^{\prime })-v(0)-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }$$$$\Rightarrow \Delta CS=CS(p_1^{\prime })-CS(p_1^{\prime \prime })=v(x_1^{\prime })-v(x_1^{\prime \prime })-(p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }-p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime })$$
  • 现在考虑补偿变化
    $$v(x_1^{\prime })+m-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }=v(x_1^{\prime \prime })+m+CV-p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime }$$$$\Rightarrow CV=\Delta CS$$
  • 等价变化
    $$v(x_1^{\prime })+m-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }=v(x_1^{\prime \prime })+m+EV-p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime }$$$$\Rightarrow EV=\Delta CS$$
    故
    $$CV=EV=\Delta CS$$
• 当效用函数为Cobb-Douglas形式时，
  $$EV<\Delta CS<CV$$

生产者剩余

生产者福利的改变同样也可以通过像消费者福利改变那样通过货币价值来测量

效益—成本分析

无谓损失：生产者和消费者剩余的总损失是税收的无谓损失

市场需求

从个人到市场的需求函数

• 考虑一个含有$n$个消费者的市场，分别用$i=1,2,\cdots ,n$来表示
• 消费者$i$对于商品$j$的需求函数为：
  $$x_j^{\ast i}(p_1,p_2,m^i)$$
• 当所有的消费者都是价格接受者时，市场对于商品$j$的需求函数为：
  $$X_j(p_1,p_2,m^1,m^2,\cdots ,m^n)=\sum _{i=1}^n{x}_j^{\ast i}(p_1,p_2,m^i)$$
• 如果所有消费者都是一样的
  $$X_j(p_1,p_2,M)=n\cdot x_j^{\ast }(p_1,p_2,m)M=nm$$
• 市场需求曲线是所有个人消费者需求曲线的横向加总

弹性

• 弹性测度了一个变量对于另一个变量的敏感性
• 变量x对变量y的弹性：
  $${ϵ}_{x,y}=\frac{\%\Delta x}{\%\Delta y}$$

自身价格需求弹性

之所以不用需求曲线的斜率来测量需求相对于自身价格改变的敏感度，是因为敏感度的值在这种情况下会依赖于需求量（单位），而这种需求
$${ϵ}_{x_1^{\ast },p_1}=\frac{\%\Delta x_1^{\ast }}{\%\Delta p_1}$$

区间弹性与点弹性

• 商品 $i$对于价格$p_i$的某一区间的平均自身价格需求弹性称为区间弹性，常用中点价格弹性来计算
• 对于单一价格$p_i$的弹性称为点弹性

区间弹性

对于$p_i^{\prime }\in [p_i^{\prime }-h,p_i^{\prime }+h]$，有$x_i^{\prime \prime }(p_i^{\prime }+h)=X_i^{\prime \prime },x_i^{\prime \prime \prime }(p_i^{\prime }-h)=X_i^{\prime \prime \prime }$
$${ϵ}_{X_i^{\ast },p_i}=\frac{\%\Delta X_i^{\ast }}{\%\Delta p_i}=\frac{100\cdot \frac{2h}{p_i^{\prime }}}{100\cdot \frac{X_i^{\prime \prime }-X_i^{\prime \prime \prime }}{\frac{X_i^{\prime \prime }+X_i^{\prime \prime \prime }}{2}}}$$$$\Rightarrow {ϵ}_{X_i^{\ast },p_i}=\frac{p_i^{\prime }}{(X_i^{\prime \prime }+X_i^{\prime \prime \prime })/2}\cdot \frac{(X_i^{\prime \prime }-X_i^{\prime \prime \prime })}{2h}$$

点弹性

令$h\to 0$，有
$${ϵ}_{X_i^{\ast },p_i}=\frac{p_i^{\prime }}{X_i^{\prime }}\cdot \frac{\mathrm{d}{X}_i^{\ast }}{\mathrm{d}{p}_i}$$
假设$p_i=a-b{X}_i$
那么${ϵ}_{X_i^{\ast },p_i}=\frac{p_i}{(a-p_i)/b}\cdot (-\frac{1}{b})=-\frac{p_i}{a-p_i}$

• $p=0\Rightarrow ϵ=0$
• $p=\frac{p}{2}\Rightarrow ϵ=-1$
• $p=a\Rightarrow ϵ=-\infty$

现考虑$X_i^{\ast }=k{p}_i^a$，则
$${ϵ}_{X_i^{\ast },p_i}=\frac{p_i}{k{p}_i^a}\cdot ka{p}_i^{a-1}=a\frac{p_i^a}{p_i^a}=a=\text{const}$$

收益与自身价格弹性

• 假如商品价格上升仅导致需求数量的少量下降，那么销售者的收益上升
• 因此自身价格非弹性需求会使销售者的收入随价格上升而上升
• 假如商品价格上升导致需求数量的大量减少，那么销售者的收入下降
• 因此自身价格的弹性需求会使销售者的收入随价格上升而下降

销售者的收入：
$$R(p)=p\cdot X^{\ast }(p)$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}p}=X^{\ast }(p)+p\frac{\mathrm{d}{X}^{\ast }}{\mathrm{d}p}$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}p}=X^{\ast }(p)[1+\frac{p}{X^{\ast }(p)}\frac{\mathrm{d}{X}^{\ast }}{\mathrm{d}p}]=X^{\ast }(p)[1+ϵ]$$

• 假如$ϵ=-1$那么$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}p}=0$
  • 单位弹性需求：价格改变并不影响销售者的收入
• 假如$-1<ϵ\le 0$那么$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}p}>0$
  • 非弹性需求：价格上升会导致销售者的收入上升
• 假如$ϵ<-1$那么$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}p}<0$
  • 弹性需求：价格上升会导致销售者的收入减少

边际收益与自身价格弹性

$p(q)$表示销售者的反需求函数
$$R(q)=p(q)\cdot q$$$$\Rightarrow MR(q)=\frac{\mathrm{d}R(q)}{\mathrm{d}q}=\frac{\mathrm{d}p(q)}{\mathrm{d}q}q+p(q)=p(q)[1+\frac{q}{p(q)}\frac{\mathrm{d}p(q)}{\mathrm{d}q}]$$$$\Rightarrow MR(q)=p(q)[1+\frac{1}{ϵ}]$$

• 若$ϵ=-1$，则$MR(q)=0.$多卖一单位商品不改变销售者的收益
• 若$-1<ϵ\le 0$，则$MR(q)<0.$多卖一单位商品减少销售者的收益
• 若$ϵ<-1$，则$MR(q)>0.$多卖一单位商品增加销售者的收益

均衡

从量税

从量税是指对每单位交易商品征收t美元的税收方式

• 消费税/货物税(excise tax)：对卖者征收的税收
• 销售税(sales tax)：对买者征收的税收
  一个对于买者征收税率t的税收使得买者支付的价格$p_b$，比卖者收到的商品价格$p_s$高出t
  $$p_b-p_s=t$$
  市场均衡时：
  $$(p_b-p_s=t)\wedge (D(p_b)=S(p_s))$$
  由Cramer’s rule，方程组有唯一解
  因此，征收t的销售税与征收t的消费税有相同的结果

从量税&市场均衡

假设市场的需求曲线和供给曲线均为线性的
$$D(p_b)=a-b{p}_b$$$$S(p_s)=c+d{p}_s$$
在有税的情况下，市场均衡满足：
$$(p_b=p_s+t)\wedge (a-b{p}_b=c+d{p}_s)$$$$\Rightarrow p_s=\frac{a-c-bt}{b+d},p_b=\frac{a-c+dt}{b+d}$$$$\Rightarrow q^t=\frac{ad+bc-bdt}{b+d}$$
令$t=0$，有：
$$p^{\ast }=\frac{a-c}{b+d},q^{\ast }=\frac{ad+bc}{b+d}$$
当t上升时，$p_s$下降，$p_b$上升，且$q^{\ast }$下降
买者支付的每单位税收为：
$$p_b-p^{\ast }=\frac{a-c+dt}{b+d}-\frac{a-c}{b+d}=\frac{dt}{b+d}$$
卖者支付的每单位税收为：
$$p^{\ast }-p_s=\frac{a-c}{b+d}-\frac{a-c-bt}{b+d}=\frac{bt}{b+d}$$
买者和卖者支付的税收和为：
$$T=t{q}^t=t\cdot \frac{ad+bc-bdt}{b+d}$$

税收归宿与自身价格弹性

从量税的归宿依赖于供给与需求的自身价格弹性
当$p=p^{\ast }$时，自身价格的需求弹性大致为：
$${ϵ}_D\approx \frac{\frac{\Delta q}{q^{\ast }}}{\frac{p_b-p^{\ast }}{p^{\ast }}}$$$$\Rightarrow p_b-p^{\ast }\approx \frac{\Delta q\cdot p^{\ast }}{{ϵ}_D\cdot q^{\ast }}$$
当$p=p^{\ast }$时，自身价格的供给弹性大致为：
$${ϵ}_S\approx \frac{\frac{\Delta q}{q^{\ast }}}{\frac{p_s-p^{\ast }}{p^{\ast }}}$$$$\Rightarrow p_s-p^{\ast }\approx \frac{\Delta q\cdot p^{\ast }}{{ϵ}_S\cdot q^{\ast }}$$
税收归宿为：
$$\frac{p_b-p^{\ast }}{p^{\ast }-p_s}\approx -\frac{{ϵ}_S}{{ϵ}_D}$$
当供给变得更有弹性，或者需求变得更加缺乏弹性，买者支付的从量税t的份额越多
当供给变得更加缺乏弹性，或者需求变得更有弹性，卖者支付的从量税t的份额越多

无谓损失与自身价格弹性

从量税使得竞争市场上的交易量减少，因此也减少了通过交易所获得的福利（消费者与生产者剩余）
税收减少的的剩余转移给了政府
当需求或者供给变得更加具有弹性时，由于从量税产生的无谓损失会上升
假如${ϵ}_D=0$或者${ϵ}_S=0$，那么无谓损失为0

技术

• 技术是只把投入转换成产出的过程
• 一般来说集中技术能够生产相同的产品

投入束

• $x_i$表示投入品种$i$的投入量$i$，也即投入品种$i$的投入水平
• 投入束是投入品投入水平的向量，用$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$表示

生产函数

• $y$表示产出水平
• 技术生产函数表现了投入束的最大可能产出量
  $$y=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$$

技术集

• 一个生产计划是一个投入束和一个产出水平，用$(x_1,x_2,\cdots ,x_n,y)$来表示
• 生产计划是可行的，假如满足：
  $$y\le f(x_1,x_2,\cdot ,x_n)$$
• 所有可行生产计划集合就是技术集
  T = { ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n , y ) ∣ ( y ≤ f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) ) ∧ ( x i ≥ 0 ,   i = 1 , 2 , ⋯   , n ) } T=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)|(y\le f(x_1,x_2,\cdots,x_n))\land(x_i\ge0,\ i=1,2,\cdots,n)\} T={(x1​,x2​,⋯,xn​,y)∣(y≤f(x1​,x2​,⋯,xn​))∧(xi​≥0, i=1,2,⋯,n)}

多种投入品的技术

两种投入品的例子：投入水平为$x_1$和$x_2$，产出水平为$y$
假设生产函数为：
$$y=f(x_1,x_2)=2x_1^{\frac{1}{3}}{x}_2^{\frac{1}{3}}$$
产出$y$的等产量线是指最大产出量为$y$的所有投入束的集合

两个投入变量的等产量线

• 等产量线可以通过增加一条产出线，并把能够产生相同产出的投入组合连接起来而得到
• 更多的等产量线告诉了我们更多关于技术的信息

含有多种投入要素的技术

• 所有等产量线的集合称为等产量线图
• 等产量图与生产函数等价—所指代对象一致

Cobb-Douglas函数

$$y=A{x}_1^{a_1}{x}_2^{a_2}\cdot \cdots \cdot x_n^{a_n}$$
当$n=2$时，$y=x_1^{a_1}{x}_2^{a_2}$
所有的等产量线都是双曲线，无限接近坐标轴，但不相交

固定比例生产函数

y = min ⁡ { a 1 x 1 , a 2 x 2 , ⋯   , a n x n } y=\min\{a_1x_1,a_2x_2,\cdots,a_nx_n\} y=min{a1​x1​,a2​x2​,⋯,an​xn​}

完全替代函数

$$y=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n$$
如$y=x_1+3x_2$，所有的等产量线都是线性的和平行的

边际产品

$$y=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$$
投入要素$i$的边际产出为在其它投入要素不变的情况下，产出变化与要素投入变化之比，即
$$M{P}_i=\frac{\partial y}{\partial x_i}$$
边际产品随着投入要素$i$的投入量的增加而降低，即
$$\frac{\partial M{P}_i}{\partial x_i}=\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial y}{\partial x_i}\right)=\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_i^2}<0$$

规模效益

• 边际产品测度了单个要素投入量的改变导致的产出变化
• 规模报酬测度了所有投入要素同等幅度改变时产出的变化
  • 如果对于任意投入束$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$
    $$f(k{x}_1,k{x}_2,\cdots ,k{x}_n)=kf(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$$那么技术通过产出函数$f$描述了不变的规模报酬
  • 如果对于任意投入束$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$
    $$f(k{x}_1,k{x}_2,\cdots ,k{x}_n)<kf(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$$那么技术显示了规模报酬递减
  • 如果对于任意投入束$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$
    $$f(k{x}_1,k{x}_2,\cdots ,k{x}_n)>kf(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$$那么技术显示了规模报酬递增
• 单种技术可以在不同位置显示不同规模效益

规模报酬的例子

完全替代生产函数为：
$$y=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n$$所有投入要素都扩大$k$倍，产出变为：
$$a_1(k{x}_1)+a_2(k{x}_2)+\cdots +a_n(k{x}_n)=k(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n)=ky$$
完全互补生产函数为：
y = min ⁡ { a 1 x 1 , a 2 x 2 , ⋯   , a n x n } y=\min\{a_1x_1,a_2x_2,\cdots,a_nx_n\} y=min{a1​x1​,a2​x2​,⋯,an​xn​}所有投入要素都扩大$k$倍，产出变为：
min ⁡ { a 1 ( k x 1 ) , a 2 ( k x 2 ) , ⋯   , a n ( k x n ) } = k ( min ⁡ { a 1 x 1 , a 2 x 2 , ⋯   , a n x n } ) \min\{a_1(kx_1),a_2(kx_2),\cdots,a_n(kx_n)\}=k(\min\{a_1x_1,a_2x_2,\cdots,a_nx_n\}) min{a1​(kx1​),a2​(kx2​),⋯,an​(kxn​)}=k(min{a1​x1​,a2​x2​,⋯,an​xn​})
Cobb-Douglas生产函数：
$$y=x_1^{a_1}{x}_2^{a_2}\cdot \cdots \cdot x_n^{a_n}$$所有投入要素都扩大$k$倍，产出变为：
$$(k{x}_1{)}^{a_1}(k{x}_2{)}^{a_2}\cdots (k{x}_n{)}^{a_n}=k^{a_1}{k}^{a_2}\cdots k^{a_n}{x}^{a_1}{x}^{a_2}\cdots x^{a_n}=k^{a_1+a_2+\cdots +a_n}{x}^{a_1}{x}^{a_2}\cdots x^{a_n}=k^{a_1+a_2+\cdots +a_n}y$$

• 若$a_1+a_2+\cdots +a_n=1$，则规模报酬不变
• 若$a_1+a_2+\cdots +a_n>1$，则规模报酬递增
• 若$a_1+a_2+\cdots +a_n<1$，则规模报酬递减
  一个生产函数可以为边际产品递减，但规模报酬递增的函数
• 边际产品是指在其它投入要素不变的情况下，某一要素投入量改变所导致的产出变化与投入变化之比
• 边际产品递减是因为在其它要素固定不变的情况下，某一投入要素量的增加使得与其共同生产产品的其他要素比例越来越低
• 当所有的投入要素都同比例增加，边际产品将不会改变（错误），因为每一投入要素的比例与其他要素保持恒定；投入要素的生产力（可能）不会下降，规模效应可能是不变或者递增的

技术替代率

等产量线的斜率表明了在不改变产出的前提下，当投入要素1增加时，要素2必须减少的量
等产量线的斜率即为技术替代率
$$y=f(x_1,x_2)$$$$\mathrm{d}y=\frac{\partial y}{\partial x_1}\mathrm{d}{x}_1+\frac{\partial y}{\partial x_2}\mathrm{d}{x}_2$$令$\mathrm{d}y=0$，则
$$0=\frac{\partial y}{\partial x_1}\mathrm{d}{x}_1+\frac{\partial y}{\partial x_2}\mathrm{d}{x}_2$$$$\Rightarrow TRS=\frac{\mathrm{d}{x}_2}{\mathrm{d}{x}_1}=-\frac{\frac{\partial y}{\partial x_1}}{\frac{\partial y}{\partial x_2}}$$

Cobb-Douglas函数

$$y=f(x_1,x_2)=x_1^a{x}_2^b$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}{x}_2}{\mathrm{d}{x}_1}=-\frac{a{x}_2}{b{x}_1}$$

性状良好的生产函数

良态生产函数：

• 单调性：任何要素投入量的增加会带来更多的产出
• 凸性：假如投入束$x^{\prime }$和$x^{\prime \prime }$都能生产出$y$单位产出，那么投入束的组合$t{x}^{\prime }+(1-t)x^{\prime \prime }$至少能够生产出$y$单位产出，对于任意$0<t<1$
  凸性意味着技术替代率随着$x_1$的增加而增加

长期与短期

• 从长期来看，厂商的所有投入要素的投入量都可以改变
• 从短期来看，厂商只有某些投入要素的投入量可以改变

厂商面对的短期限制条件：

• 暂时不能安装或转移机械设备
• 被法律要求生产某一确定的产量
• 需要符合相关法律规定

可以把长期看成是厂商可以在短期内任意改变投入要素的投入量

利润最大化

经济利润

• 一个厂商利用生产要素$j=1,2,\cdots ,m$来生产产品$i=1,2,\cdots ,n$
• 产出水平为$y_1,y_2,\cdots ,y_n$
• 投入水平为$x_1,x_2,\cdots ,x_m$
• 价格水平为$p_1,P_2,\cdots ,p_n$
• 投入要素价格为$w_1,w_2,\cdots ,w_m$

生产计划$(x_1,x_2,\cdots ,x_m,y_1,y_2,\cdots ,y_n)$的经济利润为：
$$\Pi =p_1{y}_1+\cdots +p_n{y}_n-w_1{x}_1-\cdots -w_m{x}_m$$

• 产出和投入都是流量
• 利润也是一个流量

假如厂商定期的经济利润为${\Pi }_0,{\Pi }_1,{\Pi }_2,\cdots$且$r$为利率
厂商的经济利润的现值为：
$$PV={\Pi }_0+\frac{{\Pi }_1}{1+r}+\frac{{\Pi }_2}{(1+r{)}^2}+\cdots$$

竞争性厂商

竞争性厂商为产出品价格$p_1,P_2,\cdots ,p_n$d的接受者，所有投入要素的价格$w_1,w_2,\cdots ,w_m$都固定不变
竞争性厂商要最大化它的现值

• 假设厂商处于一个短期环境中且$x_2\equiv \widetilde{x_2}$
• 短期生产函数为：$y=f(x_1,\widetilde{x_2})$
• 固定成本为：$FC=w_2\widetilde{x_2}$
• 利润函数为：$\Pi =py-w_1{x}_1-w_2\widetilde{x_2}$

短期等利润线

$\Pi$等利润线包含了所有能够产生$\Pi$利润的生产计划
其等利润线的函数为：
$$\Pi \equiv py-w_1{x}_1-w_2\widetilde{x_2}$$$$\Rightarrow y=\frac{w_1}{p}{x}_1+\frac{\Pi +w_2\widetilde{x_2}}{p}$$

短期利润最大化

厂商面对的问题是在受到生产计划选择的限制下，如何选择生产计划使得它逼近最高可能的等利润线
$$M{P}_1=\frac{w_1}{p}\iff p\cdot M{P}_1=w_1$$
$pM{P}_1$为投入要素1的边际收益（边际产品价值），也即投入要素1的改变量导致收益的增加量

• 若$pM{P}_1>w_1$，则利润随着$x_1$增加而增加
• 若$pM{P}_1<w_1$，则利润随着$x_1$增加而减少

Cobb-Douglas

$$y=x_1^{\frac{1}{3}}{\widetilde{x_2}}^{\frac{1}{3}}$$$$M{P}_1=\frac{\partial y}{\partial x_1}=\frac{1}{3}{x}_1^{-\frac{2}{3}}{\widetilde{x_2}}^{\frac{1}{3}}$$$$\Rightarrow VMP=pM{P}_1=\frac{p}{3}(x_1^{\ast }{)}^{-\frac{2}{3}}{\widetilde{x_2}}^{\frac{1}{3}}=w$$$$\Rightarrow (x_1^{\ast }{)}^{\frac{2}{3}}=\frac{p{\widetilde{x_2}}^{\frac{1}{3}}}{3w_1}$$$$\Rightarrow x_1^{\ast }=(\frac{p}{3w_1}{)}^{\frac{3}{2}}{\widetilde{x_2}}^{\frac{1}{2}}$$$$\Rightarrow y^{\ast }=(x_1^{\ast }{)}^{\frac{1}{3}}{\widetilde{x_2}}^{\frac{1}{3}}=(\frac{p}{3w_1}{)}^{\frac{1}{2}}{\widetilde{x_2}}^{\frac{1}{2}}$$

短期利润最大化的比较静态分析

短期等利润线方程为：$y=\frac{w_1}{p}{x}_1+\frac{\Pi +w_2\widetilde{x_2}}{p}$
商品价格$p$上升导致

• 斜率下降
• 垂直截距下降

工厂产品价格$p$上升导致

• 厂商的产出水平上升（厂商供给曲线向上移动）
• 厂商的可变要素投入量增加（厂商对于可变要素的需求曲线向外移动）

$w_1$上升导致

• 斜率上升
• 垂直截距不变

厂商可变要素价格$w_1$上升会导致

• 厂商的产出水平下降（厂商的供给曲线向内移动）
• 厂商的可变要素投入量下降（厂商的可变投入要素的需求曲线的斜率为负）

长期利润最大化

• 现在允许厂商改变所有投入要素的投入量
• 由于没有投入要素的投入量是固定的，因此没有固定成本
• $x_1$和$x_2$都为可变变量
• 考虑一个厂商在给定的$x_2$值条件下选择最大化利润的生产计划，现在改变$x_2$的值来寻找最大化可能利润

长期等利润线方程为：$y=\frac{w_1}{p}{x}_1+\frac{\Pi +w_2{x}_2}{p}$
$x_2$上升导致

• 斜率不变
• 垂直截距上升

长期利润最大化计划的要素投入水平满足：
$$(pM{P}_1=w_1)\wedge (pM{P}_2=w_2)$$即，边际收益等于所有要素的边际成本之和
给定$p,w_1$和$w_2$，以及生产函数$y=x_1^{\frac{1}{3}}{x}_2^{\frac{1}{3}}$
长期利润最大化的生产计划为：
$$(x_1^{\ast },x_2^{\ast },y^{\ast })=(\frac{p^3}{27w_1^2{w}_2},\frac{p^3}{27w_1{w}_2^2},\frac{p^2}{9w_1{w}_2})$$

规模报酬与利润最大化

• 如果竞争性厂商的生产函数显示了规模报酬递减，那么厂商拥有唯一的长期利润最大化的生产计划
• 如果竞争性厂商的生产函数显示了规模报酬递增，那么厂商没有利润最大化的生产计划（与完全竞争市场不符）
• 如果竞争性厂商的生产函数显示了规模报酬不变，那么能够获取正利润（与完全竞争市场不符）
  • 因此，规模报酬不变要求竞争性厂商的经济利润为0

显示利润率

• 考虑一个有着规模报酬递减的厂商的生产函数
• 对于一系列的产品和投入要素的价格，我们观察企业生产计划的选择
• 假如在价格条件$(w^{\prime },p^{\prime })$下，生产计划$(x^{\prime },y^{\prime })$被选择，我们可以推断出$(x^{\prime },y^{\prime })$是在价格条件$(w^{\prime },p^{\prime })$下所显示出来的利润最大化的生产计划
  厂商的技术集必须在所有的利润线之下
• $(x^{\prime },y^{\prime })$在价格条件$(w^{\prime },p^{\prime })$下被选择，因此
  $$p^{\prime }{y}^{\prime }-w^{\prime }{x}^{\prime }\ge p^{\prime }{y}^{\prime \prime }-w^{\prime }{x}^{\prime \prime }$$
• $(x^{\prime \prime },y^{\prime \prime })$在价格条件$(w^{\prime \prime },p^{\prime \prime })$下被选择，因此
  $$p^{\prime \prime }{y}^{\prime \prime }-w^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }\ge p^{\prime \prime }{y}^{\prime }-w^{\prime \prime }{x}^{\prime }$$
  易知利润最大化的必要条件：
  $$(p^{\prime }-p^{\prime \prime })y^{\prime }-(w^{\prime }-w^{\prime \prime })x^{\prime }\ge (p^{\prime }-p^{\prime \prime })y^{\prime \prime }-(w^{\prime }-w^{\prime \prime })x^{\prime \prime }$$$$\Rightarrow (p^{\prime }-p^{\prime \prime })(y^{\prime }-y^{\prime \prime })\ge (w^{\prime }-w^{\prime \prime })(x^{\prime }-x^{\prime \prime })$$$$\Rightarrow \Delta p\Delta y\ge \Delta w\Delta x$$
  价格不变，那么$\Delta p=0$；利润最大化，则$\Delta w\Delta x\le 0$
  例如：竞争性厂商的要素需求曲线不能向上弯曲