【洛谷】【ARC100E】Or Plus Max（高维前缀和）

传送门：Or Plus Max        高维前缀和

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题目描述

長さ 2N の整数列 A0​, A1​, ..., A2N−1​ があります。（添字が 0 から始まることに注意）

1 ≤ K ≤ 2N−1 を満たすすべての整数 K について、次の問題を解いてください。

• i,j を整数とする。0 ≤ i < j ≤ 2N−1, (i or j) ≤ K のとき、Ai​ + Aj​ の最大値を求めよ。 ただしここで or はビットごとの論理和を表す。

输入格式

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N A0​ A1​ ... A2N−1​

输出格式

2N−1 行出力せよ。 i 行目には、K=i のときの上記の問題の答えを出力せよ。

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题意翻译

给你一个长度为 2n 的序列 a，每个1≤K≤2n−1，找出最大的 ai​+aj​（iorj≤K，0≤i<j<2n）并输出。
or 表示按位或运算。

输入输出样例

输入 #1

2
1 2 3 1

输出 #1

3
4
5

输入 #2

3
10 71 84 33 6 47 23 25

输出 #2

81
94
155
155
155
155
155

输入 #3

4
75 26 45 72 81 47 97 97 2 2 25 82 84 17 56 32

输出 #3

101
120
147
156
156
178
194
194
194
194
194
194
194
194
194

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题解

思路：

下面是详细注释后的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long  // 定义long long类型别名

const int INF = 1e9 + 1;  // 定义一个极大值INF，用于初始化次大值

// 定义一个结构体Data，用于存储最大值和次大值
struct Data {
    ll first, second;  // first存储最大值，second存储次大值

    // 重载+运算符，用于合并两个Data对象
    Data operator+(const Data &t) {
        Data y;
        if (first > t.first) {  // 如果当前最大值大于t的最大值
            y.first = first;  // 更新最大值
            y.second = max(t.first, second);  // 更新次大值为t的最大值和当前次大值的较大者
        } else {  // 否则
            y.first = t.first;  // 更新最大值为t的最大值
            y.second = max(t.second, first);  // 更新次大值为t的次大值和当前最大值的较大者
        }
        return y;
    }
} A[1 << 19];  // 定义一个大小为2^19的Data数组A，用于存储每个子集的最大值和次大值

int main() {
    int n;
    cin >> n;  // 输入n，表示集合的大小
    ll m = 1 << n;  // 计算m = 2^n，表示所有子集的数量

    // 初始化数组A
    for (ll i = 0; i < m; i++) {
        cin >> A[i].first;  // 输入每个子集的初始值
        A[i].second = -INF;  // 将次大值初始化为-INF
    }

    // 动态规划计算每个子集的最大值和次大值
    for (int i = 0; i < n; i++) {  // 遍历每一位
        for (int j = 0; j < m; j++) {  // 遍历所有子集
            if ((j >> i) & 1) {  // 如果子集j的第i位为1
                A[j] = A[j] + A[j ^ (1 << i)];  // 合并子集j和子集j^(1<<i)的最大值和次大值
            }
        }
    }

    ll ans = 0;  // 初始化答案为0
    for (int i = 1; i <= m - 1; i++) {  // 遍历所有非空子集
        ans = max(ans, A[i].first + A[i].second);  // 更新答案为当前子集的最大值和次大值之和的最大值
        cout << ans << endl;  // 输出当前答案
    }

    return 0;
}