【洛谷】【ZJOI2007】棋盘制作（悬线法）

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                悬线法

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题目

        国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源于易经的思想，棋盘是一个 8×88×8 大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。

        而我们的主人公 小Q，正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友 小W 决定将棋盘扩大以适应他们的新规则。

  小Q 找到了一张由 N×MN×M 个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种颜色之一。小Q 想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。

        不过 小Q 还没有决定是找一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。

        于是 小Q 找到了即将参加全国信息学竞赛的你，你能帮助他么？

输入格式

        包含两个整数 NN 和 MM，分别表示矩形纸片的长和宽。接下来的 NN 行包含一个 N×MN×M 的 0101 矩阵，表示这张矩形纸片的颜色（00 表示白色，11 表示黑色）。

输出格式

        包含两行，每行包含一个整数。第一行为可以找到的最大正方形棋盘的面积，第二行为可以找到的最大矩形棋盘的面积（注意正方形和矩形是可以相交或者包含的）。

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数据范围

        对于所有数据，N, M ≤ 2000

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题解

运用悬线法

• 初始化四个辅助数组：
  • l[i][j]：表示以 (i, j) 为右下角的矩形中，能向左延伸的最远列的索引。
  • r[i][j]：表示以 (i, j) 为右下角的矩形中，能向右延伸的最远列的索引。
  • h[i][j]：表示以 (i, j) 为右下角的矩形的高度。
  • ans1 和 ans2 用于存储最大矩形和最大正方形的面积，初始值均为0。

1. 计算左右边界

• 左边界（l）：从第二列开始，对每一行进行遍历。如果当前单元格 G[i][j] 的值与左侧单元格 G[i][j-1] 不同，则当前单元格的左边界等于左侧单元格的左边界。

• 右边界（r）：从倒数第二列开始，同样对每一行进行遍历。如果当前单元格 G[i][j] 的值与右侧单元格 G[i][j+1] 不同，则当前单元格的右边界等于右侧单元格的右边界。

2. 计算高度和更新结果

• 遍历每个单元格 (i, j)，如果不是第一行并且上方单元格 G[i-1][j] 的值与当前单元格的值不同，说明两行之间有不同的值：

  • 更新当前单元格的高度为上方单元格的高度 + 1。
  • 更新左边界和右边界，取当前行和上方行的左（或右）边界的最大（或最小）值。

• 最大矩形面积 (ans1)：计算以 (i, j) 为右下角的矩形面积，面积计算方式为 (右边界 - 左边界 + 1) * 高度。将计算得到的面积与当前的 ans1 进行比较，更新 ans1 为更大的值。

• 最大正方形面积 (ans2)：通过取最大正方形的边长，更新面积的计算方式为 min(右边界 - 左边界 + 1, 高度)。然后将这个正方形面积与当前的 ans2 比较并更新。

#include <iostream>  
using namespace std;  
const int MAXN = 2e3 + 5;   
int n, m;  

// 用于存储高度、左右边界和原始输入网格的数组  
int h[MAXN][MAXN], l[MAXN][MAXN], r[MAXN][MAXN], G[MAXN][MAXN];  

// 存储最终答案的变量  
int ans1 = 0, ans2 = 0;  

// 执行主要逻辑的函数  
void fun() {  
    // 输入网格并初始化左、右边界和高度数组  
    for (int i = 1; i <= n; i++) {  
        for (int j = 1; j <= m; j++) {  
            cin >> G[i][j]; // 读取输入网格  
            l[i][j] = r[i][j] = j; // 初始化左右边界为当前列  
            h[i][j] = 1; // 初始高度设为1  
        }  
    }  

    // 计算左边界  
    for (int i = 1; i <= n; i++) {  
        for (int j = 2; j <= m; j++) {  
            // 如果当前单元格与左侧单元格不同，更新左边界  
            if (G[i][j] != G[i][j - 1])  
                l[i][j] = l[i][j - 1];  
        }  

        // 计算右边界  
        for (int j = m - 1; j >= 1; j--) {  
            // 如果当前单元格与右侧单元格不同，更新右边界  
            if (G[i][j] != G[i][j + 1])  
                r[i][j] = r[i][j + 1];  
        }  
    }  

    // 计算高度及最终结果  
    for (int i = 1; i <= n; i++) {  
        for (int j = 1; j <= m; j++) {  
            // 如果不是第一行，并且上面单元格的值不同  
            if (i > 1 && G[i - 1][j] != G[i][j]) {  
                h[i][j] = h[i - 1][j] + 1; // 增加高度  
                l[i][j] = max(l[i][j], l[i - 1][j]); // 更新左边界基于上方的行  
                r[i][j] = min(r[i][j], r[i - 1][j]); // 更新右边界基于上方的行  
            }  

            // 计算当前高度和宽度的矩形面积，用于 ans1（最大矩形面积）  
            ans1 = max(ans1, (r[i][j] - l[i][j] + 1) * h[i][j]); // 根据当前高度和宽度计算面积  
            int minn = min(r[i][j] - l[i][j] + 1, h[i][j]); // 为了 ans2 计算的最小边长  
            ans2 = max(ans2, minn * minn); // 更新 ans2 以获取最大正方形面积  
        }  
    }  
}  

int main() {  
    cin >> n >> m; // 读取网格的维度  
    fun(); // 调用处理网格的函数  
    cout << ans2 << '\n' << ans1; // 打印最大正方形面积和最大矩形面积  
    return 0; // 程序结束  
}