【洛谷】【P4570】元素（贪心、线性基）

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题目描述

相传，在远古时期，位于西方大陆的 Magic Land 上，人们已经掌握了用魔法矿石炼制法杖的技术。那时人们就认识到，一个法杖的法力取决于使用的矿石。

一般地，矿石越多则法力越强，但物极必反：有时，人们为了获取更强的法力而使用了很多矿石，却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了，从而无法炼制出法杖，这个现象被称为“魔法抵消” 。特别地，如果在炼制过程中使用超过一块同一种矿石，那么一定会发生“魔法抵消”。后来，随着人们认知水平的提高，这个现象得到了很好的解释。经过了大量的实验后，著名法师 Dmitri 发现：如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编号（编号为正整数，称为该矿石的元素序号），那么，一个矿石组合会产生“魔法抵消”当且仅当存在一个非空子集，那些矿石的元素序号按位异或起来为零（如果你不清楚什么是异或，请参见下一页的名词解释 ）。

例如，使用两个同样的矿石必将发生“魔法抵消”，因为这两种矿石的元素序号相同，异或起来为零。并且人们有了测定魔力的有效途径，已经知道了：合成出来的法杖的魔力等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值，并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。

现在，给定你以上的矿石信息，请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多有多大的魔力。

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输入格式

第一行包含一个正整数 N，表示矿石的种类数。

接下来 N 行，每行两个正整数Numberi​ 和 Magici​，表示这种矿石的元素序号和魔力值。

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输出格式

仅包含一行，一个整数代表最大的魔力值。

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题解

 第一眼看到这道题，首先想到贪心，因为所有元素中能促成“魔法抵消”的非空子集是固定的，不固定的是这些子集中被选择的矿石，把所有矿石按法力值从大到小进行排序，遍历数组进行check操作，如果该矿石被遍历时加入它不会造成“魔法抵消”则加入矿石，否则遍历下一个矿石。

现在的问题就变成了：如何快速判断矿石能否被加入。

考虑到Number的值很大，不能暴力，想到能否用二进制位数来简化操作，于是发现可以用线性基处理数据。

这样问题就都解决了，下面是代码解释和代码。

1. 数据结构和输入

• 定义了一个 struct St，其中有两个属性：Number 和 Magic。Number 是我们要处理的数字，而 Magic 是这个数字的权重。
• 使用 bool operator< 来实现排序的自定义规则，即根据 Magic 值进行降序排序。排序是为了在最大化魔法值时优先考虑较大的权重。

2. 主逻辑

1) 输入数据

• 从标准输入读取数字的数量 N，然后读取 N 个 Number 和 Magic 值，并保存在 st 数组中。

2) 排序

• 对结构体数组 st 按照 Magic 值进行降序排序。这保证了我们在后续处理中能优先考虑魔法值大的数字。

3) 检查线性无关性

• 使用 check 函数来决定是否可以将当前的 Number 添加到我们的线性基中。这个函数尝试将数字与已有的基进行线性组合。
  • 通过遍历从高位到低位的二进制位，使用 dp[i] 数组来存储目前已经建立的线性基。
  • 如果在某一位没有已有的基元素（即 dp[i] 为 0），那么就把当前数字 x 加入基，并返回 true。
  • 若在当前位已经有了基元素，那么就用当前数字与这个基元素异或，尝试降低数字的复杂性。

4) 计算总魔法值

• 遍历排序后的结构体数组 st：
  • 对于每个数字，调用 check 函数，若它可以成功加入线性基，则累加它的魔法值到 ans 中，表示我们成功选择了这个数字。

3) 输出结果

• 最后，打印总的魔法值 ans。

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#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll dp[64];
struct St{
    ll Number,Magic;
    bool operator<(const St &t)const{
        return Magic>t.Magic;
    }
}st[1006];
bool check(ll x){
    for(int i=61;i>=0;i--){
        if(x>>i){
            if(dp[i+1]==0){
                dp[i+1]=x;
                return true;
            }
            else {
                x^=dp[i+1];
            }
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    int N;
    cin>>N;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        cin>>st[i].Number>>st[i].Magic;
    }
    sort(st+1,st+N+1);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        if(check(st[i].Number))ans+=st[i].Magic;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}