【洛谷】【AGC063A】Mex Game（博弈论基础）

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题目描述

A, B からなる長さ N+1 の文字列 S = S0​⋯ SN​ が与えられます． 各 k=1, …, N に対して次の問題を解いてください：

Alice と Bob が集合 X を使ってゲームをします．X ははじめ空集合で，t=1,…, k の順に次の行動を行います．

• t が奇数ならば，Alice が非負整数 x を選び，X を X∪ {x} に置き換える．
• t が偶数ならば，Bob が非負整数 x を選び，X を X∪ {x} に置き換える．

k 回すべての行動が終わった時点での mex(X) を x とするとき，文字 Sx​ が A ならば Alice が，Sx​ が B ならば Bob が勝者となります．集合 X の要素数は k 以下であるため，x = mex(X) ≤ k が成り立つ（したがって文字 Sx​ が存在する）ことに注意してください．

両者が最適に行動した場合の勝者の名前を出力してください．

mex(X) とは？ 非負整数からなる有限集合 X に対し，x∈/ X を満たす最小の非負整数 x を mex(X) と定義します．

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输入格式

入力は以下の形式で標準入力から与えられます．

N S

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输出格式

N 行出力してください．i 行目には，k=i とした場合のゲームについて，両者が最適に行動した場合の勝者の名前（Alice または Bob）を出力してください．

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题意翻译

给定一个长度为 (n+1)(1≤n≤2×105) 的字符串 s。共 n 轮游戏，第 i 轮进行 i 次操作，每轮均由 Alice 先，与 Bob 交替往集合 X 中加入非负整数（一次加入即一次操作）。对于每一轮，记 x=mex(X)，若 sx​ 为 A 则 Alice 胜，反之 Bob 胜。对于每一轮，输出谁胜。

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题解

由于Alice和Bob总会采取最优策略，可知到Alice的回合时，Alice会将位置靠前且未被加入过集合中的字符串中'B'的下标加入集合中，Bob同理，所以这道题就变成了比较A和B出现的次数，如果A多，则Alice赢，反之，则Bob赢。

#include <iostream>
using namespace std;
int cnt[200005];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n;
    cin>>n;
    string S;
    cin>>S;
    int opA=0,opB=0;
    int cnt_a=0;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        if(S[i]=='A')cnt_a++;
        cnt[i]=cnt_a;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(i%2)opA++;
        else opB++;
        if(opB>=cnt[i])cout<<"Bob";
        else cout<<"Alice";
        cout<<endl;
    }

    return 0;
}

1. 输入部分：

   • 首先输入一个整数 n 表示字符串 S 的长度。
   • 然后输入字符串 S。

2. 计数数组：

   • cnt 数组用来记录截至到每个位置 'A' 的数量。即 cnt[i] 表示字符串 S 前 i 个字符中 'A' 的个数。

3. 遍历字符串：

   • 首先通过一个循环计算每个位置的 'A' 的数量，更新 cnt 数组。

4. 判断胜者：

   • 使用两个变量 opA 和 opB 分别代表当前轮次 "Alice" 和 "Bob" 的机会。
   • 然后通过第二个循环，从 1 到 n，每次判断当前机会的数量与 cnt 数组的值进行比较：
     • 若 "Bob" 的机会数量 opB 大于或等于截至到当前轮的 'A' 数量 cnt[i]，则输出 "Bob"。
     • 否则输出 "Alice"。