[组合计数] 分发食物（第三场模拟赛T1）

原创已于 2023-10-06 12:02:43 修改 · 112 阅读

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#算法

于 2023-10-06 11:55:43 首次发布

文章讨论如何通过编程解决分配n种食物给k名选手的方案数问题，涉及C(n,k)组合计算，以及优化代码以减少时间复杂度。

第一题分发食物

提交文件 :

food.cpp

输入文件 :

food.in

输出文件 :

food.out

时间空间限制：

2 秒 , 512 MB

在你参加本次比赛的时候，小叶老师正在为选手准备晚餐。

现在一共有 n 种食物，他计划对于第 i 种食物订购 a i 份。

比赛结束后，他将把所有的食物分给 k 位选手（不能有剩余）。每位选手可以领取不同种类的食物，但每

种食物最多只能领取一份，也可能领取不到任何食物。

现在小叶老师想知道一共有多少种分发食物的方案。

由于他不知道参赛选手的具体数量，您需要计算 k = 1 , 2 · · · m 的答案。

由于答案可能很大，你只需要输出答案对 998244353 取模的结果。

输入格式

第一行读入两个个正整数 n, m 。

第二行 n 个数字 a i 依次表示每种食物的数量

输出格式

输出共 m 行。

第 i 行一个整数表示 k = i 时的答案。

样例数据

food.in

food.out

4 6

0 1 2 3

500

1800

k = 3 时， 9 种可能的分配方案有

{1, 2, 3} {2, 3} {3} {1, 2, 3} {3} {2, 3} {1, 3} {2, 3} {2, 3}

{2, 3} {1, 2, 3} {3} {2, 3} {1, 3} {2, 3} {3} {1, 2, 3} {2, 3}

{2, 3} {2, 3} {1, 3} {2, 3} {3} {1, 2, 3} {3} {2, 3} {1, 2, 3}

数据范围

对于 30 % 的数据， 1 ≤ n, m ≤ 5 · 10 3 。

对于 100 % 的数据， 1 ≤ n, m ≤ 5 · 10 4 , 0 ≤ a i ≤ 10 5 , ∑ n

i =1 a i ≤ 10 5 。

30pt代码

单独考虑每种食物分发给k个人有多少中方案。

即C(k,ai),因为这个问题可以转化为ai个球投进k个箱子的方案。

然后根据乘法原理就可以求出了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int mod = 998244353;const int maxn = 1e7+10;
int fac[maxn],ifac[maxn];
int pow_mod(int a,int b){
	int ret = 1;
	for(;b;a = (long long)a*a%mod, b >>= 1){
		if((b & 1)){
			ret = (long long)ret*a%mod;
		}
	}
	return ret;
}
int C(int n,int k){
    if(k > n)return 0;
	return (long long)fac[n]*ifac[k] %mod * ifac[n-k]%mod ;	
}
void init(){
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1;i < maxn;i++){
		fac[i] = (long long)fac[i-1]*i%mod;
	}
	ifac[maxn-1] = pow_mod(fac[maxn-1],mod-2);
	for(int i = maxn-1;i >= 1;i--) ifac[i-1] = (long long)ifac[i] *i %mod;
}
int n,m,a[50100];
vector<int> res[50010];
int main(){
	freopen("food.in","r",stdin);
	freopen("food.out","w",stdout);
    init();
    //cout<<C(3,2);
    cin>>n>>m;
    int Max = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
    	cin>>a[i];
    	Max = max(a[i],Max);
	}

	for(int i = 1;i <= m;i++){
		if(Max > i){
			cout<<0<<endl;
			continue;
		}
		long long ans = 1; 
		for(int j = 1;j <= n;j++){
			//cout<<ans<<" "<<i<<" "<<j<<" "<<C(i,a[j])<<endl;
	        ans = (ans*C(i,a[j]))%mod;
		}
		cout<<ans<<endl;
		
	}
//	for(int i = 1;i <= m;i++){
//		cout<<dp[i][n]<<endl;
//	}
	return 0;
}