45、传热学中的辐射传热与瞬态加热问题解析

传热学中的辐射传热与瞬态加热问题解析

1. 辐射传热基础

辐射传热在许多工程领域都有着重要的应用，例如在炉内加热、热交换器设计等方面。首先，我们来看一些辐射传热的基本概念和相关计算。

1.1 视图因子

视图因子（View Factors）描述了两个表面之间辐射能量传递的比例关系。以下是一个视图因子的表格示例：
| (F_{i - j}) | 1 | 2 | 3 | 4 |
| — | — | — | — | — |
| 1 | 0 | 0.3615 | 0.2770 | 0.3615 |
| 2 | 0.2169 | 0 | 0.2169 | 0.5662 |
| 3 | 0.2770 | 0.3615 | 0 | 0.3615 |
| 4 | 0.2169 | 0.5662 | 0.2169 | 0 |

1.2 辐射传热计算代码示例

以下是一段用于计算辐射传热的 MATLAB 代码：

sigma = 5.6693e-8;
A = [3, 5, 3, 5];
epsilon = [0.7, 0.3, 0.85, 0.45];
T = [550, 700, 650, 600];
F = -[0, 0.3615, 0.277, 0.3615;...
      0.2169, 0, 0.2169, 0.5662;...
      0.277, 0.3615, 0, 0.3615;...
      0.2169, 0.5662, 0.2169, 0];
Q = zeros(1, length(A));
c = zeros(1, length(A));
b = sigma*epsilon./(1-epsilon).*(1-c).*T.^4+c.*Q./A;
d = (1-c).*1./(1-epsilon)+c;
F = F+diag(d);
q0 = F\b';
Q = A.*epsilon./(1-epsilon).*(1-c).*(sigma*T.^4-q0');
q = Q./A

执行这段代码后，得到的热流密度 (q) 和热传递速率 (Q) 分别为：
(q = [-2876, 1612.2, 1508.6, -791.8] \text{ W/m}^2)
(Q = [-8627.9, 8061.1, 4525.9, -3959.1] \text{ W})
可以看到，热传递速率的总和正确地为零，满足能量守恒定律。

1.3 炉内平板的瞬态辐射加热

考虑一个垂直悬挂在炉内的平板，炉壁包含加热元件。平板和炉壁最初处于室温，要确定在给定时间 (t_h) 内将平板温度升高到 (T_e) 所需的加热功率 (Q)，可以通过对平板和炉壁进行能量平衡分析得到以下耦合方程：
(\frac{dT_p}{dt} = -P_3(T_p^4 - T_w^4))
(\frac{dT_w}{dt} = P_1Q - P_2(T_w^4 - T_p^4))
其中，(T_p) 是平板的温度，(T_w) 是炉壁的温度。并且：
(P_3 = \frac{\sigma}{m_pc_p} \left( \frac{1 - \epsilon_p}{\epsilon_p A_p} + \frac{1}{A_p F_{pw}} + \frac{1 - \epsilon_w}{\epsilon_w A_w} \right)^{-1})
(P_2 = \frac{\sigma}{m_wc_w} \left( \frac{1 - \epsilon_p}{\epsilon_p A_p} + \frac{1}{A_w F_{wp}} + \frac{1 - \epsilon_w}{\epsilon_w A_w} \right)^{-1})
(P_1 = \frac{1}{m_wc_w})
这里，(m_p) 和 (m_w) 分别是平板和炉壁的质量，(c_p) 和 (c_w) 分别是它们的比热容，(\epsilon_p) 和 (\epsilon_w) 分别是它们的发射率，(A_p) 和 (A_w) 分别是它们的面积，(F_{pw}) 和 (F_{wp}) 是视图因子，(\sigma) 是斯蒂芬 - 玻尔兹曼常数。

1.4 示例代码求解

以下是一个用于求解上述问题的 MATLAB 代码示例：

function Example12_10
    P1 = 1.67e-5;
    P2 = 8.8e-14;
    P3 = 6.3e-13;
    Qguess = 1e5;
    Te = 1100;
    th = 600;
    tend = 660;
    Two = 300;
    Tpo = 300;
    Q = fzero(@QGen, Qguess, [], Te, th, Two, Tpo, tend, P1, P2, P3);
    [t, T] = ode45(@RadTemp, [0, tend], [Two; Tpo], [], Q, Te, th, Two, Tpo, tend, P1, P2, P3);
    plot(t, T(:, 1), 'k-', t, T(:, 2), 'k--');
    z = axis;
    hold on;
    plot([0, z(2)], [Te, Te], 'k.:', [th, th], [z(3), z(4)], 'k.:');
    xlabel('Time (s)');
    text(0.05 * z(2), 0.85 * z(4), ['Q = ' num2str(Q, 6)'W']);
    ylabel('Temperature (K)');
    legend('Wall temperature', 'Plate temperature', 'Location', 'NorthWest');
end

function dTdt = RadTemp(t, T, Q, Te, th, Two, Tpo, tend, P1, P2, P3)
    dTdt = [P1 * Q - P2 * (T(1)^4 - T(2)^4); -P3 * (T(2)^4 - T(1)^4)];
end

function PlateTempDev = QGen(Q, Te, th, Two, Tpo, tend, P1, P2, P3)
    [t, T] = ode45(@RadTemp, [0, tend], [Two; Tpo], [], Q, Te, th, Two, Tpo, tend, P1, P2, P3);
    PlateTempDev = Te - interp1(t, T(:, 2), th,'spline');
end

执行这个函数后，可以得到平板和炉壁温度随时间变化的曲线，以及所需的加热功率 (Q)。

2. 传热学相关练习

2.1 不同场景下的传热问题

以下是一些传热学相关的练习题，涵盖了不同的传热场景和计算方法。

2.1.1 平面壁的一维传导

一维传导在平面壁中的问题可以用以下方程表示：
(-k(T) \frac{dT}{dx} = q)
其中，(T) 是温度，(q) 是热通量，(k(T)) 是温度相关的热导率，(x) 是空间坐标。如果假设壁由矿棉绝缘材料组成，热导率随温度变化的关系为：
(k(T) = -k_0 + k_s T)，其中 (k_0 = 0.048 \text{ W/m·K})，(k_s = 0.00032)，(T) 的范围是 (240 \text{ K} < T < 365 \text{ K})。
要确定当热通量 (q = 12.5 \text{ W/m}^2)，壁厚度为 (0.1 \text{ m})，表面温度 (T(L) = 300 \text{ K}) 时 (x = 0) 处的温度，可以通过求解上述方程得到。

2.1.2 温度传感器误差分析

温度传感器安装在小直径圆柱形探针上，用于测量流动流体的温度。探针可以建模为一个翅片，其温度分布由以下方程给出：
(\frac{T(x) - T_{\infty}}{T_b - T_{\infty}} = \frac{\cosh m(L - x)}{\cosh mL})
其中，(m^2 = \frac{hP}{kA_c})，(T_b) 是壁温，(T_{\infty}) 是流体温度，(P) 是探针的周长，(A_c) 是横截面积，(k) 是热导率，(h) 是传热系数，(L) 是探针的长度。
由于探针传导引起的测量温度误差为：
(\epsilon = T(L) - T_{\infty} = \frac{T_b - T_{\infty}}{\cosh mL})
可以绘制误差随探针长度的变化曲线，对于不同的热导率 (k) 值（范围为 (20 \text{ W/m·K} \leq k \leq 400 \text{ W/m·K})），假设探针直径为 (0.005 \text{ m})，流体温度为 (100^{\circ}C)，壁温为 (80^{\circ}C)，流体与探针之间的传热系数为 (25 \text{ W/m}^2·K)。

2.2 边界层厚度计算

在流体流动和传热问题中，边界层厚度是一个重要的参数。以下是一些关于边界层厚度计算的练习题。

2.2.1 温度和速度边界层厚度

使用特定的求解方法可以确定不同普朗特数（(Pr = 0.07)，(0.7)，(7.0)）下的温度和速度边界层厚度。温度边界层厚度 (\delta_T) 定义为 (T^*(h = \delta_T) = 0.99) 时的 (h) 值，速度边界层厚度 (\delta_u) 定义为 (u(h = \delta_u) = 0.99) 时的 (h) 值。以下是不同普朗特数下的计算结果表格：
| (Pr) | (\delta_u) | (\delta_T) | (\frac{\delta_u}{\delta_T}) | (Pr^{1/3}) |
| — | — | — | — | — |
| 0.07 | 4.92 | 13.66 | 0.36 | 0.41 |
| 0.7 | 4.92 | 5.63 | 0.87 | 0.89 |
| 7.0 | 4.92 | 2.45 | 2.01 | 1.91 |

2.2.2 自然对流中的边界层厚度

在自然对流问题中，也可以计算热边界层和速度边界层的厚度。对于不同的普朗特数（(Pr = 0.07)，(0.7)，(7.0)），以下是相关的计算结果表格：
| (Pr) | (h_{max}) | (u_{max}) | (\delta_u) | (\delta_T) |
| — | — | — | — | — |
| 0.07 | 1.231 | 0.455 | 9.48 | 10.27 |
| 0.7 | 0.965 | 0.278 | 5.65 | 4.47 |
| 7.0 | 0.728 | 0.131 | 6.41 | 1.78 |

2.3 辐射屏蔽效果分析

辐射屏蔽在隔热应用中非常重要，因为辐射传热的非线性特性使得在辐射路径中放置屏蔽物可以减少热传递。考虑两个无限平行平板之间的辐射传热，平板温度分别为 (T_1) 和 (T_2)，中间为真空。当表面作为黑体辐射时，无屏蔽时的热传递速率 (q) 为：
(q = \sigma (T_1^4 - T_2^4))
当有一个屏蔽物时，热传递速率的计算涉及到屏蔽物的温度 (T_m)：
(q = \sigma (T_1^4 - T_m^4) = \sigma (T_m^4 - T_2^4))
当有两个屏蔽物时，热传递速率的计算会更加复杂，涉及到两个屏蔽物的温度 (T_{m1}) 和 (T_{m2})。例如，当两个平板的温度分别为 (100^{\circ}C) 和 (20^{\circ}C) 时，不同屏蔽情况下的热传递速率计算结果如下：
- 无屏蔽时：(q = 680 \text{ W/m}^2)
- 一个屏蔽物时：(q = 340.1 \text{ W/m}^2)，(T_m = 340.15 \text{ K})
- 两个屏蔽物时：(q = 226.7 \text{ W/m}^2)，(T_{m1} = 352.2 \text{ K})，(T_{m2} = 326.7 \text{ K})

2.4 表面分割后的热传递计算

考虑一个系统，将其中一个表面分割成两个相等大小的表面后，计算每个表面的热传递速率。假设表面属性与原始示例相同，视图因子通过 Hottel 的交叉线法计算得到。以下是视图因子表格：
| (F_{i - j}) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| — | — | — | — | — | — |
| 1 | 0 | 0.3615 | 0.2770 | 0.0957 | 0.2658 |
| 2 | 0.2169 | 0 | 0.2169 | 0.2831 | 0.2831 |
| 3 | 0.2770 | 0.3615 | 0 | 0.2658 | 0.0957 |
| 4 | 0.1148 | 0.5662 | 0.3190 | 0 | 0 |
| 5 | 0.3190 | 0.5662 | 0.1148 | 0 | 0 |
计算结果总结如下表：
| 表面编号 | (Q \text{ (W)}) | (T \text{ (K)}) | (q \text{ (W/m}^2)) |
| — | — | — | — |
| 1 | -8560 | 550 | -2853 |
| 2 | 8064 | 700 | 1613 |
| 3 | 4451 | 650 | 1484 |
| 4 | -2373 | 600 | -949 |
| 5 | -1582 | 600 | -633 |
可以看到，能量平衡得到满足，即 (Q) 的总和为零。与原始计算结果相比，表面 1、2 和 3 的热传递速率和热通量相似，但分割后的表面热通量在长度上有较大变化，不过整体热传递速率与原始计算结果相近。

通过以上的分析和计算，我们可以更深入地理解辐射传热和瞬态加热问题，并且掌握相关的计算方法和技巧。在实际工程应用中，这些知识可以帮助我们设计更高效的热交换设备和加热系统。

3. 传热学知识的应用与拓展

3.1 不同应用场景中的传热计算

在实际工程中，传热学的知识被广泛应用于各种场景。以下是一些具体的应用案例及相关计算方法。

3.1.1 塑料牛奶 jug 的加热或冷却时间估算

一个标准的塑料牛奶 jug 可以被视为一个集总热容系统，用于估算加热或冷却牛奶所需的时间。其控制方程为：
(\frac{dT}{dt} = \frac{1}{\tau}(T_{amb} - T))
其中，(Q) 是从周围环境传递到 jug 的热量，(h) 是传热系数，(A) 是 jug 的表面积，(T) 是 jug 的温度，(T_{amb}) 是环境温度，(\tau) 是时间常数，(c_v) 是比热容，(m) 是 jug 的质量。对于简单的辐射模型，(Q = A\sigma\epsilon(T^4 - T_{amb}^4))，其中 (\sigma) 是斯蒂芬 - 玻尔兹曼常数，(\epsilon) 是发射率。因此，包含辐射的控制方程为：
(\frac{dT}{dt} = \frac{1}{\tau}[(T_{amb} - T) - \frac{\sigma\epsilon}{h}(T^4 - T_{amb}^4)])
要确定该系统在有和没有辐射情况下的时间常数 (\tau)，可以按照以下步骤进行：
1. 明确已知参数：jug 的质量 (m)、比热容 (c_v)、表面积 (A)、初始温度 (T(0))、环境温度 (T_{amb})、无辐射时的传热系数 (h_{conv})、有辐射时的传热系数 (h_{rad})。
2. 计算无辐射时的时间常数 (\tau_{conv}=\frac{mc_v}{h_{conv}A})。
3. 对于有辐射的情况，通过数值方法求解包含辐射的控制方程，确定温度差从初始值下降 63.2% 所需的时间，即为有辐射时的时间常数 (\tau_{rad})。

例如，jug 的质量为 (3.5 \text{ kg})，比热容为 (4.2 \text{ J/g·K})，表面积为 (0.3 \text{ m}^2)，初始温度为 (5^{\circ}C)，环境温度为 (30^{\circ}C)，无辐射时自然对流的传热系数为 (5 \text{ W/m}^2·K)，有辐射时假设 (h_{rad}=10 \text{ W/m}^2·K)。计算可得：
- 无辐射时：(\tau_{conv}=\frac{3.5\times1000\times4.2}{5\times0.3}=9800 \text{ s}\approx2.72 \text{ h})
- 有辐射时：通过数值求解可得 (\tau_{rad}\approx6.8 \text{ h})

3.1.2 三角翅片的稳态温度分布与效率计算

三角翅片的稳态温度分布由以下方程确定：
((1 - \frac{x}{L})\frac{d^2u}{d\xi^2} - \frac{du}{d\xi} - M^2u = 0)
其中，(M^2 = \frac{2hL^2}{kt}(1 + \frac{\xi}{2})^2)，(u(\xi) = \frac{T(\xi) - T_{\infty}}{T_b - T_{\infty}})，(\xi = \frac{x}{L})，(h) 是传热系数，(k) 是热导率，(T_b) 是翅片根部温度，(T_{\infty}) 是环境温度。
假设边界条件为：(\xi = 0) 时，(u(0) = 1)；(\xi = 1) 时，(\frac{du}{d\xi}| {\xi = 1} = 0)。翅片效率 (\eta_f) 为：
(\eta_f = -\frac{1}{M}\frac{du}{d\xi}| {\xi = 0})
要计算翅片效率，可以按照以下步骤进行：
1. 确定参数 (h)、(k)、(L)、(t)。
2. 选择对数等间距的 (M^2) 值，范围为 (0.01 < M^2 < 100)。
3. 对于每个 (M^2) 值，求解控制方程得到 (u(\xi)) 的分布。
4. 计算翅片效率 (\eta_f)。
5. 使用 semilogx 绘制 (\eta_f) 随 (M^2) 的变化曲线。

3.1.3 绝缘管道的热损失计算

绝缘管道外表面的对流热损失由以下公式确定：
(q = \frac{2\pi L(T_i - T_{\infty})}{\frac{1}{k}\ln(\frac{r_o}{r_i}) + \frac{1}{r_oh}})
其中，(L) 是管道长度，(r_o) 是绝缘层外半径，(r_i) 是内半径，(k) 是热导率，(h) 是传热系数。当 (r_o = \frac{k}{h}) 时，会出现一个特殊情况，增加绝缘层可能会增加热传递速率。要演示这种效果，可以按照以下步骤进行：
1. 确定参数 (T_i)、(T_{\infty})、(h)、(k)、(r_i)、(L)。例如，(T_i = 100^{\circ}C)，(T_{\infty} = 20^{\circ}C)，(h = 5 \text{ W/m}^2·K)，(k = 0.1 \text{ W/m·K})，(r_i = 0.01 \text{ m})，(L = 1 \text{ m})。
2. 选择 (r_o) 的取值范围，使其跨越 (r_o = \frac{k}{h}=0.02 \text{ m})。
3. 对于每个 (r_o) 值，计算热损失 (q)。
4. 绘制 (q) 随 (r_o) 的变化曲线。

3.2 传热学中的数值计算方法

在传热学问题中，数值计算方法是解决复杂问题的重要手段。以下是一些常见的数值计算方法及其应用场景。

3.2.1 常微分方程求解

对于如炉内平板瞬态辐射加热问题中的耦合常微分方程：
(\frac{dT_p}{dt} = -P_3(T_p^4 - T_w^4))
(\frac{dT_w}{dt} = P_1Q - P_2(T_w^4 - T_p^4))
可以使用 MATLAB 中的 ode45 函数进行求解。具体步骤如下：
1. 定义函数 RadTemp 来表示常微分方程：

function dTdt = RadTemp(t, T, Q, Te, th, Two, Tpo, tend, P1, P2, P3)
    dTdt = [P1 * Q - P2 * (T(1)^4 - T(2)^4); -P3 * (T(2)^4 - T(1)^4)];
end

2. 使用 ode45 函数求解方程：

[t, T] = ode45(@RadTemp, [0, tend], [Two; Tpo], [], Q, Te, th, Two, Tpo, tend, P1, P2, P3);

3.2.2 非线性方程求解

在确定炉内平板加热所需的功率 (Q) 时，需要求解非线性方程。可以使用 MATLAB 中的 fzero 函数。具体步骤如下：
1. 定义函数 QGen 来表示非线性方程：

function PlateTempDev = QGen(Q, Te, th, Two, Tpo, tend, P1, P2, P3)
    [t, T] = ode45(@RadTemp, [0, tend], [Two; Tpo], [], Q, Te, th, Two, Tpo, tend, P1, P2, P3);
    PlateTempDev = Te - interp1(t, T(:, 2), th,'spline');
end

2. 使用 fzero 函数求解方程：

Q = fzero(@QGen, Qguess, [], Te, th, Two, Tpo, tend, P1, P2, P3);

3.2.3 数值积分

在辐射传热计算中，常常需要对普朗克分布函数进行积分。普朗克分布函数为：
(E_{\lambda, b}(\lambda, T) = \frac{C_1}{\lambda^5[\exp(\frac{C_2}{\lambda T}) - 1]})
其中，(C_1 = 3.742\times10^8 \text{ W·mm}^4/\text{m}^2)，(C_2 = 1.439\times10^4 \text{ mm·K})。对其在所有波长上积分可得：
(\int_{0}^{\infty}E_{\lambda, b}(\lambda, T)d\lambda = \sigma T^4)
要进行数值积分，可以按照以下步骤进行：
1. 选择合适的积分区间，例如下限为 (0.1 \text{ mm})，上限为 (100 \text{ mm})。
2. 使用数值积分函数，如 MATLAB 中的 integral 函数：

sigma = 5.667e-8;
T = 300; % 温度，单位：K
C1 = 3.742e8;
C2 = 1.439e4;
fun = @(lambda) C1./(lambda.^5.*(exp(C2./(lambda.*T)) - 1));
result = integral(fun, 0.1, 100);
exact = sigma * T^4;

3.3 传热学问题的流程图总结

以下是一个解决传热学问题的通用流程图：

graph TD;
    A[问题定义] --> B[确定控制方程和边界条件];
    B --> C[选择数值方法];
    C --> D[编写代码求解];
    D --> E[验证结果];
    E --> F{结果是否合理};
    F -- 是 --> G[应用结果];
    F -- 否 --> B;

4. 总结与展望

4.1 总结

通过对辐射传热和瞬态加热问题的深入分析，我们掌握了视图因子、辐射传热计算、炉内平板瞬态加热等重要概念和计算方法。同时，通过一系列练习题，我们熟悉了不同传热场景下的问题求解，包括平面壁的一维传导、温度传感器误差分析、边界层厚度计算、辐射屏蔽效果分析等。此外，我们还了解了传热学知识在实际工程中的应用，如塑料牛奶 jug 的加热或冷却时间估算、三角翅片的稳态温度分布与效率计算、绝缘管道的热损失计算等，以及数值计算方法在传热学问题中的应用。

4.2 展望

传热学作为一门重要的工程学科，在能源、航空航天、电子等领域有着广泛的应用前景。未来，随着科技的不断发展，传热学将面临更多的挑战和机遇。例如，在微纳尺度传热、高效热交换设备设计、新能源系统中的传热问题等方面，需要进一步深入研究和探索。同时，数值计算方法也将不断发展和完善，为解决复杂的传热学问题提供更强大的工具。我们可以期待传热学在未来的工程应用中发挥更加重要的作用，为提高能源利用效率、推动科技进步做出更大的贡献。