43、传热问题的理论与实践分析

传热问题的理论与实践分析

1. 无限长实心圆柱体的瞬态热传导

在无限长实心圆柱体的瞬态热传导问题中，当圆柱体初始温度均匀且表面存在对流时，其温度分布由以下控制方程描述：
[
\frac{\partial^{2}T}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r}=\frac{1}{a}\frac{\partial T}{\partial t}
]
其中，(r) 是从圆柱体中心测量的径向坐标，(t) 是时间，(a) 是圆柱体的热扩散率。

若圆柱体半径为 (R)，则在 (r = R) 处的对流边界条件为：
[
-k\frac{\partial T}{\partial r}=h(T - T_{\infty})
]
这里，(T_{\infty}) 是环境空气温度，(h) 是传热系数，(k) 是圆柱体的热导率。

引入无量纲变量：
(j = \frac{r}{R})，(t=\frac{at}{R^{2}})，(Bi=\frac{hR}{k})，(u(j,t)=\frac{T(j,t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}})
控制方程变为：
[
\frac{\partial^{2}u}{\partial j^{2}}+\frac{1}{j}\frac{\partial u}{\partial j}=\frac{\partial u}{\partial t}
]
对流边界条件变为：
[
\frac{\partial u}{\partial j}+Bi u = 0
]
解可以写成：
[
u(j,t)=\sum_{n = 1}^{\infty}C_{n}\exp(-z_{n}^{2}t)J_{0}(z_{n}j)
]
其中：
[
C_{n}=\frac{2}{z_{n}}\frac{J_{1}(z_{n})}{J_{0}^{2}(z_{n})+J_{1}^{2}(z_{n})}
]
(J_{m}(x)) 是 (m) 阶第一类贝塞尔函数，(z_{n}) 是 (J_{1}(z_{n})/J_{0}(z_{n})-\frac{Bi}{z_{n}} = 0) 的正根。

在这类问题中，传热速率可以用集总参数公式近似，得到一阶时间常数 (\tau_{tc}=\frac{1}{2Bi})。当 (Bi = 0.5) 时，集总参数模型预测的时间常数 (\tau_{tc}=1)，更精确模型计算出 (u = \frac{1}{e}) 时 (\tau_{tc}=1.252)，说明简化模型在 (Bi = 0.5) 时具有一定准确性。

以下是一个绘制 (u(j,t)) 的示例代码，用于 (Bi = 0.5)，(0\leq j\leq1)，(0\leq t\leq1.5) 的情况：

Bi = .5;
Nroot = 15;
CylinderRoots = inline('x.*besselj(1, x)-Bi*besselj(0, x)', 'x', 'Bi');
r = FindZeros(CylinderRoots, Nroot, linspace(0, 50, 200), Bi);
tau = linspace(0, 1.5, 20);
[t, rt] = meshgrid(tau, r);
Fn = exp(-t.*rt.^2);
cn = 2*besselj(1, r)./(r.*(besselj(0, r).^2+besselj(1, r).^2));
ccn = meshgrid(cn, tau);
pro = ccn'.*Fn;
rstar = linspace(0, 1, 20);
[R, rx] = meshgrid(rstar, r);
Jo = besselj(0, rx.*R);
the = Jo'*pro;
[rr, tt] = meshgrid(rstar, tau);
mesh(rr, tt, the')
xlabel('\xi')
ylabel('\tau')
zlabel('\theta')
view(49.5, -34)

2. 带热源的一维瞬态热传导

一维瞬态热传导由以下方程控制：
[
\frac{1}{a}\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}+\frac{q}{k}
]
其中，(T = T(x,t)) 是温度，(t) 是时间，(x) 是空间坐标，(a) 是热扩散率，(k) 是热导率，(q) 是体积热源。

引入无量纲量：
(j=\frac{x}{L})，(t=\frac{at}{L^{2}})，(Bi=\frac{hL}{k})，(u=\frac{T - T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}})，(\varSigma=\frac{L^{2}q}{k(T_{i}-T_{\infty})})，(\chi=\frac{-qL}{k(T_{i}-T_{\infty})})
控制方程变为：
[
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial j^{2}}+\varSigma
]

典型的边界条件如下：
|边界条件类型|表达式|
| ---- | ---- |
|固定温度|(u = u_{w})|
|指定热通量|(\frac{\partial u}{\partial j}=\chi_{w})|
|对流|(\frac{\partial u}{\partial j}=-Bi u_{w})（(j = 1) 处）|

以下是一个求解带热源的一维瞬态热传导问题的示例代码：

function Example12_3
Bi = 0.1;
Tr = 0.55;
Sigma = 1;
xi = linspace(0, 1, 41);
tau = linspace(0, 1, 101);
theta = pdepe(0, @pde1D, @pdeIC, @pdeBC, xi, tau, [], Bi,Tr, Sigma);
z = 0:0.25:1;
figure(1)
for k = 1:length(z)
    kk = find(xi == z(k));
    plot(tau, theta(:, kk), 'k-')
    hold on
    if k == 1
        text(0.5, 1.02*theta(end, kk), '\xi = 0.0 and 0.25')
    elseif k > 2
        text(0.5, theta(end, kk)+.02, ['\xi = ' num2str(xi(kk))])
    end
end
axis([0 1 0.5 1])
xlabel('\tau')
ylabel('\theta')
figure(2)
[thmin imin] = min(theta(:,1));
plot(xi, theta(1,:), 'k-', 'LineWidth', 2)
hold on
plot(xi, theta(2,:) , 'k', xi, theta(imin,:), 'k:')
solinit = bvpinit(linspace(0, 1, 20), [1 1]);
sol = bvp4c(@barode, @barbc, solinit, [], Bi, Sigma);
x = linspace(0, 1, 100);
y = deval(sol, x);
plot(x, y(1,:), 'k--');
xlabel('\xi')
ylabel('\theta')
legend(['\tau = 0 (Initial condition)'], ['\tau = ' num2str(tau(2))], ...
['\tau = ' num2str(tau(imin)) ' (Minimum at \xi = 0)'], ...
'\tau > 2 (Steady state)', 'Location', 'SouthWest')
end

function dydx = barode(x, y, Bi, Sigma)
dydx = [y(2), -Sigma]';
end

function res = barbc(ya, yb, Bi, Sigma)
res = [ya(2)-Bi*ya(1), yb(1)-0.55]';
end

function [c, f, s] = pde1D(x, t, u, DuDx, Bi,Tr, Sigma)
c = 1;
f = DuDx;
s = Sigma;
end

function T0 = pdeIC(x, Bi,Tr, Sigma)
T0 = 1-0.45*x;
end

function [pl, ql, pr, qr] = pdeBC(xl, ul, xr, ur, t, Bi,Tr, Sigma)
pr = ur-Tr;
qr = 0;
pl = -Bi*ul;
ql = 1;
end

3. 管内流动对流

管内流动的能量方程，在轴向传导相对于对流可忽略且假设关于纵轴对称的情况下为：
[
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)=\frac{u}{a}\frac{\partial T}{\partial z}
]
其中，(T = T(r,z)) 是流体温度，(r) 是从中心线测量的径向坐标，(z) 是轴向坐标，(u) 是流体速度，(a) 是热扩散率。

引入无量纲坐标 (j=\frac{r}{R})，(z=\frac{z}{L})，流体速度 (u = 2V(1 - j^{2}))（(V) 是管内平均速度），控制方程变为：
[
\frac{1}{j}\frac{\partial}{\partial j}\left(j\frac{\partial T}{\partial j}\right)=RePr\frac{R}{L}(1 - j^{2})\frac{\partial T}{\partial z}
]
其中，(Re=\frac{2RV}{\nu}) 是雷诺数，(Pr=\frac{\nu}{a}) 是普朗特数，(\nu) 是动量扩散率。

求解该方程需要入口条件 (T(j,0)) 和两个边界条件。中心线边界条件为对称，壁面边界条件有恒壁温和恒壁热通量两种。

平均温度定义为：
[
T_{m}(z)=\frac{4}{3}\int_{0}^{1}(1 - j^{2})jT(j,z)dj
]
无量纲温度 (u(j,z)=\frac{T(j,z)-T_{w}}{T_{m}(z)-T_{w}})，热传导系数 (h=\frac{\dot{q}}{T_{m}-T_{w}})，通常用努塞尔数 (Nu=\frac{h2R}{k}) 表示。对于充分发展的流动，恒壁温时 (Nu = 4.36)，恒壁热通量时 (Nu = 3.66)。

以下是一个计算管内流动传热系数的示例代码：

function Example12_4
Tw = 40;
qw = 10;
Re = 40;
Pr = 5;
R = 0.01;
L = 0.5;
k = 0.6;
Rt = 401;
zt = 50;
dxi = 1/(Rt-1);
xi = linspace(0, 1, Rt);
zeta = linspace(0, 1, zt);
solT = pdepe(1, @pdepde, @pdeic, @pdebcT, xi, zeta, [],Tw, qw, Re, Pr, R, L, k);
solF = pdepe(1, @pdepde, @pdeic, @pdebcF, xi, zeta, [],Tw, qw, Re, Pr, R, L, k);
NuT = zeros(zt,1);
NuF = NuT;
figure(1)
for i = 1:zt
    TmT = 4*trapz(xi, xi.*(1-xi.^2).*solT(i,:));
    dThdxiT = (solT(i,Rt)-solT(i,Rt-1))/(dxi*(TmT-solT(i,Rt)));
    NuT(i) = -2*dThdxiT;
    TmF = 4*trapz(xi, xi.*(1-xi.^2).*solF(i,:));
    dThdxiF = (solF(i,Rt)-solF(i,Rt-1))/(dxi*(TmF-solF(i,Rt)));
    NuF(i) = -2*dThdxiF;
end
ThT = (solT(end,:)-ones(1,Rt)*Tw)/(TmT-Tw);
ThF = (solF(end,:)-ones(1,Rt)*solF(end,Rt))/(TmF-solF(end,Rt));
plot(xi,ThT, 'k-', xi,ThF, 'k--')
xlabel('\xi')
ylabel('\theta')
legend('Constant wall temperature', 'Constant wall heat flux')
figure(2)
plot(zeta, NuT, 'k-', zeta, NuF, 'k--')
xlabel('\zeta')
ylabel('Nu')
ylim([0 6])
legend('Constant wall temperature', 'Constant wall heat flux')
end

function [c, f, s] = pdepde(xi, zeta,T, DTDxi,Tw, qw, Re, Pr, R, L, k)
c = Re*Pr*R/L*(1-xi^2);
f = DTDxi;
s = 0;
end

function T0 = pdeic(xi,Tw, qw, Re, Pr, R, L, k)
T0 = 20;
end

function [pl, ql, pr, qr] = pdebcT(xil,Tl, xir,Tr, zeta,Tw, qw, Re, Pr, R, L, k)
pl = 0;
ql = 1;
pr = Tr-Tw;
qr = 0;
end

function [pl, ql, pr, qr] = pdebcF(xil,Tl, xir,Tr, zeta,Tw, qw, Re, Pr, R, L, k)
pl = 0;
ql = 1;
pr = -qw;
qr = k/R;
end

4. 平板上的热边界层

平板上的层流边界层流动的速度分布由 Blasius 方程得到：
[
\frac{d^{3}f}{d\eta^{3}}+\frac{f}{2}\frac{d^{2}f}{d\eta^{2}} = 0
]
其中，(f=\frac{\psi}{u_{\infty}\sqrt{\nu x/u_{\infty}}}) 是修正的流函数，(\psi) 是流函数，(u = \frac{\partial\psi}{\partial y})，(v = -\frac{\partial\psi}{\partial x})，(\eta = y\sqrt{\frac{u_{\infty}}{\nu x}}) 是相似变量，(u_{\infty}) 是自由流速度，(\nu) 是流体的运动粘度。

在流体物性恒定和某些边界层假设条件下，流体的热能量方程用相似变量表示为：
[
\frac{d^{2}T^{ }}{d\eta^{2}}+Pr\frac{f}{2}\frac{dT^{ }}{d\eta}=0
]
其中，(T^{*}=\frac{T - T_{s}}{T_{\infty}-T_{s}}) 是无量纲温度，(T) 是流体温度，(T_{s}) 是平板表面温度，(T_{\infty}) 是流体自由流温度，(Pr=\frac{\nu}{a}) 是普朗特数。

边界条件为：
[
T^{ }(0)=0\quad T^{ }(\eta\rightarrow\infty)\rightarrow1
]
[
f(0)=0\quad\frac{df}{d\eta}\big| {\eta = 0}=0\quad\frac{df}{d\eta}\big| {\eta\rightarrow\infty}\rightarrow1
]

以下是一个求解平板传热问题的示例代码：

function Example12_5
Pr = [0.07, 0.7, 7.0];
etaMax = [15, 8, 8];
xm = [15, 5, 5];
for k=1:3
    figure(k)
    solinit = bvpinit(linspace(0, etaMax(k), 8), [0, 0, 0, 0, 0]);
    sol = bvp4c(@BlasiusT, @BlasiusTbc, solinit, [], Pr(k));
    eta = linspace(0, etaMax(k));
    y = deval(sol, eta);
    subplot(2, 1, 1)
    plot(eta, y(1,:), '-.k', eta, y(2,:), '-k', eta, y(3,:), '--k')
    xlabel('\eta')
    ylabel('y_1, y_2, y_3')
    legend('Stream function, f = y_1', 'Velocity, df/d\eta = y_2',
    'Shear, d^2f/d\eta^2= y_3')
    axis([0 xm(k) 0 2])
    subplot(2,1,2)
    plot(eta, y(4,:), '-k', eta, y(5,:), '--k')
    axis([0 xm(k) 0 2])
    legend('Temperature,T^* = y_4', 'Heat flux, dT^*/d\eta = y_5')
    xlabel('\eta')
    ylabel('y_4, y_5')
end
end

function F = BlasiusT(eta, y, Pr)
F = [y(2); y(3); -0.5*y(1)*y(3); y(5); -Pr*0.5*y(1)*y(5)];
end

function res = BlasiusTbc(ya, yb, Pr)
res = [ya(1); ya(2); ya(4); yb(2)-1; yb(4)-1];
end

通过上述内容，我们详细介绍了不同传热问题的理论基础和求解方法，包括无限长实心圆柱体的瞬态热传导、带热源的一维瞬态热传导、管内流动对流以及平板上的热边界层问题，并给出了相应的代码示例。这些内容对于理解和解决实际传热问题具有重要的参考价值。

传热问题的理论与实践分析

5. 传热问题的总结与应用

前面我们详细探讨了多种传热问题，下面对这些问题进行总结，并分析其在实际中的应用。

传热问题类型	控制方程	关键参数	应用场景
无限长实心圆柱体瞬态热传导	(\frac{\partial^{2}T}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r}=\frac{1}{a}\frac{\partial T}{\partial t})	Bi 数、时间常数 (\tau_{tc})	工业中的圆柱状物体加热或冷却过程，如金属棒的热处理
带热源的一维瞬态热传导	(\frac{1}{a}\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}+\frac{q}{k})	无量纲量 (j)、(t)、(Bi)、(\varSigma)、(\chi)	电子设备散热、建筑物墙体的热传导
管内流动对流	(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)=\frac{u}{a}\frac{\partial T}{\partial z})	雷诺数 (Re)、普朗特数 (Pr)、努塞尔数 (Nu)	热交换器、管道输送热流体
平板上的热边界层	(\frac{d^{3}f}{d\eta^{3}}+\frac{f}{2}\frac{d^{2}f}{d\eta^{2}} = 0) 和 (\frac{d^{2}T^{ }}{d\eta^{2}}+Pr\frac{f}{2}\frac{dT^{ }}{d\eta}=0)	普朗特数 (Pr)、相似变量 (\eta)	航空航天领域中飞行器表面的传热、太阳能集热器平板的传热

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的模型和方法进行求解。例如，在设计热交换器时，需要考虑管内流动对流问题，通过计算努塞尔数来确定热传导系数，从而优化热交换器的性能。

6. 传热问题求解流程

下面是一个通用的传热问题求解流程：

graph LR
    A[确定问题类型] --> B[建立控制方程]
    B --> C[引入无量纲量]
    C --> D[确定边界条件和初始条件]
    D --> E[选择求解方法]
    E --> F[编写代码求解]
    F --> G[分析结果]

具体步骤如下：
1. 确定问题类型 ：判断是瞬态热传导、对流还是热边界层问题等。
2. 建立控制方程 ：根据问题类型和物理原理，建立相应的控制方程。
3. 引入无量纲量 ：简化控制方程，便于求解和分析。
4. 确定边界条件和初始条件 ：明确问题的边界和初始状态。
5. 选择求解方法 ：可以是解析法（如分离变量法）、数值法（如有限差分法、有限元法）等。
6. 编写代码求解 ：根据选择的求解方法，编写相应的代码进行求解。
7. 分析结果 ：对求解结果进行分析，评估模型的准确性和合理性。

7. 传热问题的优化思路

在实际应用中，我们常常需要对传热过程进行优化，以提高传热效率、降低能耗等。以下是一些常见的优化思路：
- 调整几何参数 ：例如，改变圆柱体的半径、管道的直径、平板的长度等，以改变传热面积和流动特性。
- 改变流体物性 ：选择热导率高、比热容大的流体，或者添加添加剂来改善流体的传热性能。
- 优化边界条件 ：例如，采用恒壁温或恒壁热通量的边界条件，以提高传热的稳定性和效率。

以管内流动对流为例，我们可以通过增加管道的长度、减小管道的直径来提高雷诺数，从而增强对流换热效果。同时，选择普朗特数合适的流体也可以提高传热效率。

8. 传热问题的未来发展趋势

随着科技的不断发展，传热问题的研究也在不断深入。未来，传热问题的研究可能会朝着以下几个方向发展：
- 多物理场耦合 ：考虑传热与流体流动、化学反应、电磁等多物理场的耦合作用，以更准确地描述实际问题。
- 微纳尺度传热 ：研究微纳尺度下的传热机理和特性，为微纳电子器件、生物医学等领域的发展提供支持。
- 智能传热系统 ：利用人工智能、机器学习等技术，实现传热系统的智能控制和优化，提高能源利用效率。

总之，传热问题是一个广泛而重要的研究领域，对于推动工业发展、提高能源利用效率、改善生活环境等方面都具有重要的意义。通过不断深入研究和实践，我们可以更好地解决实际中的传热问题，为社会的发展做出贡献。