10、基于UOV和HFE签名方案的可证明安全性研究

基于UOV和HFE签名方案的可证明安全性研究

在密码学领域，签名方案的安全性和效率一直是研究的重点。本文将深入探讨UOV和HFE签名方案，分析其现有问题，并提出相应的改进方案。

1. 预备知识

• 签名方案定义 ：一个签名方案由密钥生成算法（Gen）、签名算法（Sig）和验证算法（Ver）组成。
  • 密钥生成算法Gen是一个概率算法，输入安全参数$1^{\lambda}$，输出一对匹配的公钥$pk$和私钥$sk$。
  • 签名算法Sig是一个概率算法，输入待签名消息$M$和私钥$sk$，输出签名$\sigma = Sig_{sk}(M)$。
  • 验证算法Ver输入消息$M$、候选签名$\sigma$和公钥$pk$，输出一个比特值$Ver_{pk}(M, \sigma)$，若比特值为1则接受签名，否则拒绝。
• 存在不可伪造性 ：在自适应选择消息攻击场景下，伪造者可以获取其自适应选择消息的签名，并尝试输出一个有效的伪造签名。一个有效的伪造签名是指消息/签名对$(M, \sigma)$，使得$Ver_{pk}(M, \sigma) = 1$，但伪造者从未请求过消息$M$的签名。
• 随机矩阵的秩 ：随机$m\times n$矩阵$A$在基数为$q$的域$k$上具有秩$i$（$i > 0$）的概率$p(q, m, n, i)$为：
  [p(q, m, n, i) = \frac{\prod_{j=m - i + 1}^{m}(1