51nod 1239 欧拉函数之和

最新推荐文章于 2019-09-28 17:05:58 发布

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#信息学 #数论 #杜教筛

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本文详细解析了杜教筛算法的原理及应用，通过求解欧拉函数的前缀和问题，介绍了算法的关键步骤和核心结论。利用质因数分解和莫比乌斯函数的性质推导出算法的有效性，并提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

求：
$\sum_{i = 1}^n φ(i)$
1 <= n <= 10

题解：

杜教筛第二道裸题。

必要结论:
$\sum_{i|n} φ(i) = n$

证明：
设f(n) = $\sum_{i|n} φ(i)$
将n分解质因数，n = $\prod_{{p_i^{q_i}}}$
利用莫比乌斯函数里学到的一个性质，可以得到：
$f(n) = \prod{f({p_i^{q_i}})}$

∵ $f(p^q)$
$= \sum_{k = 0}^q φ(p^k)$
$= (\sum_{k = 1}^q p^k - p^{k - 1})$ + 1
$= p^q$

∴ $f(n) = n$

设s(n) = $\sum_{i = 1}^n φ(i)$

$\sum_{i = 1}^n \sum_{j | n} φ(j)$
$=\sum_{i = 1}^n f(i)$
$= n * (n + 1) / 2$

$\sum_{i = 1}^n s(n / i)$
$\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^{n / i } φ(j)$
$=\sum_{i = 1}^n \sum_{j | n} φ(j)$
$= n * (n + 1) / 2$

$s(n)$
$= n * (n + 1) / 2 - \sum_{i = 2}^n s(n / i)$

利用和前一篇博客（莫比乌斯函数）同样的方法处理即可。

Code：

#include<cstdio>
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;

const int Maxn = 21544346, m = 1191279, mo = 1000000007;
bool bb, bz[Maxn + 1];
int p[1362202], phi[Maxn + 1];
ll n, ni = 500000004, h[m], f[m];

int hash(ll x) {
    int y = x % m;
    while(h[y] != 0 && h[y] != x) y = (y + 1) % m;
    if(h[y] == x) bb = 1;
    h[y] = x; return y;
}

void Build() {
    phi[1] = 1;
    fo(i, 2, Maxn) {
        if(!bz[i]) p[++ p[0]]= i, phi[i] = i - 1;
        fo(j, 1, p[0]) {
            if(i * p[j] > Maxn) break;
            int k = i * p[j]; bz[k] = 1;
            if(i % p[j] == 0) {
                phi[k] = phi[i] * p[j]; break;
            }
            phi[k] = phi[i] * (p[j] - 1);
        }
        phi[i] = (phi[i] + phi[i - 1]) % mo;
    }
}

ll dg(ll x) {
    if(x <= Maxn) return phi[x];
    bb = 0;
    int w = hash(x);
    if(bb) return f[w];
    ll ans = 0;
    for(ll i = 2; i <= x; i ++) {
        ll j = x / (x / i);
        ans += dg(x / i) * (j - i + 1) % mo - mo, ans %= mo;
        i = j;
    }
    x %= mo;
    ans = (x * (x + 1) % mo * ni % mo - ans + mo) % mo;
    f[w] = ans;
    return ans;
}

int main() {
    Build();
    scanf("%lld", &n);
    printf("%lld", dg(n));
}