【51Nod1239】欧拉函数之和-杜教筛+哈希表

最新推荐文章于 2020-03-04 08:28:34 发布

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本文介绍了一种使用杜教筛算法结合哈希表解决欧拉函数之和问题的方法。通过数学推导得到核心公式，并给出了两种实现方式的代码示例，一种为简单的除数取余哈希实现，另一种为类似邻接表布局的除数取余哈希实现。

测试地址：欧拉函数之和
做法：这题需要用到杜教筛+哈希表。这一题和51Nod1244（我写的题解）都是杜教筛的模板题。
设 $f(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$ ，利用 $\sum_{d|n}\varphi(d)=n$ 这一性质来推导式子，我们来求函数 $I(n)=n$ 的前缀和，显然 $\sum_{i=1}^{n}I(i)=\frac{n(n+1)}{2}$ ，那么 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d)=\frac{n(n+1)}{2}$ ，所以：

\sum i = 1 n \sum d = 1 ⌊ n i ⌋ φ (d) = \sum i = 1 n f (⌊ n i ⌋) = n ( n + 1 ) 2

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\varphi(d)=\sum_{i=1}^{n}f(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)=\frac{n(n+1)}{2}$
将

f(n) $f(n)$ 一项提出来，得：

f (n) = n ( n + 1 ) 2 - \sum i = 2 n f (⌊ n i ⌋)

$f(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^{n}f(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$
递归+分块计算+哈希表判重+预处理

106 $10^6$ 以内的

f $f$ 即可通过此题。注意，做乘法时两边数值可能较大，需要先对

109+7 $10^9+7$ 取模再相乘。
以下是本人代码：
简单直接的除数取余哈希（AC）：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define limit 1000000
#define size 7500000
#define smod 7500000
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll n,h[size+5]={0},f[size+5];
int phi[limit+5],sum[limit+5],tot=0;
bool prime[limit+5]={0};

int hash(ll x)
{
  int pos=x%smod;
  while(h[pos]&&h[pos]!=x) pos=(pos+1)%smod;
  return pos;
}

void calc_phi(ll x)
{
  for(int i=1;i<=x;i++)
    phi[i]=i;
  for(ll i=2;i<=x;i++)
    if (!prime[i])
    {
      for(ll j=1;j*i<=x;j++)
      {
        prime[i*j]=1;
        phi[i*j]=phi[i*j]/i*(i-1);
      }
    }
  sum[0]=0;
  for(int i=1;i<=x;i++) sum[i]=(sum[i-1]+phi[i])%mod;
}

ll mult(ll a,ll b,ll c)
{
  if (a%c==0) a/=c;
  else b/=c;
  a%=mod,b%=mod;
  return (a*b)%mod;
}

ll count(ll x)
{
  int pos=hash(x);
  if (x<=limit) return (ll)sum[x];
  if (h[pos]==x) return f[pos];
  ll s=0,i=2,next;
  while(i<=x)
  {
    next=x/(x/i);
    s=(s+mult(next-i+1,count(x/i),1))%mod;
    i=next+1;
  }
  h[pos]=x,f[pos]=((mult(x,x+1,2)-s)%mod+mod)%mod;
  return f[pos];
}

int main()
{
  calc_phi(limit);
  scanf("%lld",&n);
  printf("%lld",count(n));

  return 0;
}

类似邻接表布局的除数取余哈希（TLE，13/25）：
所以就不应该乱想什么诡异的技巧……

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define limit 1000000
#define size 5000000
#define smod 5000000
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll n,h[size+5]={0},f[size+5];
int phi[limit+5],sum[limit+5],tot=0,first[size+5]={0},next[size+5];
bool prime[limit+5]={0};

int hash(ll x)
{
  int s=x%smod,pos;
  for(pos=first[s];pos;pos=next[pos])
    if (h[pos]==x) break;
  if (!pos) pos=++tot,next[pos]=first[s],first[s]=pos;
  return pos;
}

void calc_phi(ll x)
{
  for(int i=1;i<=x;i++)
    phi[i]=i;
  for(ll i=2;i<=x;i++)
    if (!prime[i])
    {
      for(ll j=1;j*i<=x;j++)
      {
        prime[i*j]=1;
        phi[i*j]=phi[i*j]/i*(i-1);
      }
    }
  sum[0]=0;
  for(int i=1;i<=x;i++) sum[i]=(sum[i-1]+phi[i])%mod;
}

ll mult(ll a,ll b,ll c)
{
  if (a%c==0) a/=c;
  else b/=c;
  a%=mod,b%=mod;
  return (a*b)%mod;
}

ll count(ll x)
{
  int pos=hash(x);
  if (x<=limit) return (ll)sum[x];
  if (h[pos]==x) return f[pos];
  ll s=0,i=2,next;
  while(i<=x)
  {
    next=x/(x/i);
    s=(s+mult(next-i+1,count(x/i),1))%mod;
    i=next+1;
  }
  h[pos]=x,f[pos]=((mult(x,x+1,2)-s)%mod+mod)%mod;
  return f[pos];
}

int main()
{
  calc_phi(limit);
  scanf("%lld",&n);
  printf("%lld",count(n));

  return 0;
}