关于欧拉函数的一个性质

昨天，有一个人过来问我，如何证明

$$\sum_{d|n}\phi(d)=n$$
毫无头绪，一群人乱搞乱搞，一个晚上都没证出来。于是决定组队去请(bei)教(diao)PhilipsWeng大犇。大犇愣了三秒（注意，3s），然后给出了一种高级的证法：
已知 $$\phi(n)=\sum_{i=1}^{n}{e((i,n))}$$
然后 $$e(n)=\sum_{d|n}\mu(d)$$
所以 $$\sum_{d|n}{\phi(d)}=\sum_{d|n}\sum_{i|d}\mu(i)\lfloor{d\over i}\rfloor$$
$$=\sum_{i|n}\mu(i)\sum_{d'|{n\over i}}d'$$
$$=\sum_{d'|n}d'\sum_{i|{n\over d}}\mu(i)$$
$$=n$$
看懂了之后，我突发奇想，想出了一种神奇的证明方法:
设$f(n)=\sum_{d|n}\phi(d)$ ,$n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i}$
根据莫比乌斯反演的充分必要性，$\phi(n)$为积性函数，$f(n)$也为积性函数（不要问我，问度娘）
所以 $$f(n)=\prod_{i=1}^{k}f(p_i^{e_i})$$
然后 $$f(p^k)=\sum_{i=0}^{k}\phi(p^i)$$
$$=1+\sum_{i=1}^{k}(p-1)*(p^{i-1})$$
$$=1+(p-1)*{p^k-1\over p-1}$$
$$=1+p^k-1$$
$$=p^k$$
所以 $$f(n)=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i}$$
$$=n$$
得证