【Linear Algebra】矩阵

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#线性代数 #Linear Algebra #矩阵

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本文全面概述了矩阵理论的基础知识，包括矩阵概念、运算规则、特殊矩阵类型如伴随矩阵与可逆矩阵，以及矩阵的秩和分块矩阵等内容，是理解和应用矩阵理论的重要资源。

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文章目录

- 2. 矩阵

2. 矩阵

本文重点在知识归纳，不帮助理解

2.1 矩阵的概念

一个 $\times n$ 个数排成如下 $m$ 行 $n$ 列的一个表格，称为 $\times n$ 矩阵

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{bmatrix}$

当 $m = n$ 时，称为方阵（n 阶方阵）
矩阵中的元素都为 0，则该矩阵称为零矩阵，记为 $O$
两个矩阵 $[a_{ij}]_{m \times n}$ ， $[b_{ij}]_{s \times t}$ ，如果 $m = s, n = t$ ，则称 $A$ 和 $B$ 是同型矩阵
两个 $\times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ ，所有对应位置元素相等，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相等，记作 $A = B$
n 阶方阵 $A$ 对应的行列式记作 $∣ A ∣$ 或 $d e t A$

2.2 矩阵的运算

矩阵加法：同型矩阵可相加，结果为对应位置的元素相加
数量乘法：设 $k$ 是数， $A$ 是 $\times n$ 矩阵，则有

$k[a_{ij}]_{m \times n} = [ka_{ij}]_{m \times n}$

矩阵乘法： $A$ 为 $\times s$ 矩阵， $B$ 为 $\times n$ 矩阵（故要求 $A$ 的列数 = $B$ 的行数），乘积 $A B$ 为一个 $\times n$ 矩阵，算法省略。（特别的当 $\cdot A \cdot ... \cdot A = A^k$ （ $k$ 为 $A$ 的个数），称 $A$ 的 $k$ 次幂）
矩阵转置：矩阵 $A$ 行列互换的到它的转置 $A^T$

2.3 矩阵的运算规则

矩阵乘法是不满足交换律的，下面的法则前提都是满足矩阵能进行运算

$A + B = B + A$
$(A + B) + C = A + (B + C)$
$(A B) C = A (B C)$
$A (B + C) = A B + A C$
$(B + C) A = B A + C A$
$A + B)^T = A^T + B^T$
$AB)^T = B^TA^T$
$kA)^T = kA^T$
$A^k)^l = A^{kl},~A^kA^l = A^{k+l}$

注意：

$AB)^k = (AB)(AB)...(AB)$
$A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$
$A + B)(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2$

2.4 特殊矩阵

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵（即方阵）

单位矩阵：主对角元素为 1，其余元素为 0，记为 $E_n$ （有时为 $E$ 或 $I$ ）
数量矩阵：数 $k$ 与单位矩阵 $E$ 的积
对角矩阵：非主对角元素都是 0 的矩阵，记为 $\Lambda$ ， $\Lambda = diag[a_1,a_2,...,a_n]$
上（下）三角矩阵：略
对称矩阵：满足 $A^T = A$ 的矩阵
反对称矩阵：满足 $A^T = -A$ 的矩阵
正交矩阵： $A^TA = AA^T = E$ ，即 $A^T = A^{-1}$
初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵

设 $A$ 是 $\times n$ 矩阵

(1) 行阶梯矩阵：

矩阵中有零行，且都位于矩阵底部
每个非零行的主元（即该行最左边的第 1 个非 0 元）所在列的下面元素都是 0

(2) 行最简矩阵：

行阶梯矩阵
非零行的主元为 1，且主元所在列的其他元素都是 0，则称为行最简矩阵

2.5 伴随矩阵、可逆矩阵

2.5.1 伴随矩阵定义

矩阵 $A$ 的行列式 $∣ A ∣$ 所有的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵（adjugate matrix）（如下），记为 $A^*$

$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\ ... & ... & & ... \\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \\ \end{bmatrix}$

(其实就是代数余子矩阵的转置)

2.5.2 伴随矩阵重要公式

$AA^* = A^*A = |A|E$
$(A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \frac{1}{|A|}A~,~~~(|A| \ne 0)$
$A^*)^T = (A^T)^*$
$kA)^* = k^{n-1}A^*$
$A^*| = |A|^{n-1}$
$(A^*)^* = |A|^{n-2}A~,~~~(n \geq 2)$
$r(A^*) = \left\{\begin{aligned}n &,~~r(A) = n \\1 &,~~r(A) = n - 1 \\0 &,~~r(A) < n - 1 \\\end{aligned}\right.$

2.5.3 可逆矩阵定义

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得 $A B = B A = E$ 成立，则称 $A$ 是可逆矩阵（invertible） 或 非奇异矩阵（nonsingular） 或 正则矩阵（regular）， $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记成 $A^{-1} = B$

若 $A$ 可逆，则 $A$ 的逆矩阵唯一

2.5.4 n 阶矩阵可逆的充分必要条件

存在 $n$ 阶矩阵 $B$ ，使 $A B = E$ （或 $B A = E$ ）
$\ne 0$ ，或秩 $r (A) = n$ ，或 $∣ A ∣$ 的列（行）向量线性无关
齐次方程组 $A x = 0$ 只有零解
$\forall b$ ，非齐次线性方程组 $A x = b$ 总有唯一解
矩阵 $A$ 的特征值全不为 0

2.5.5 逆矩阵的运算性质

若 $\ne 0$ ，则 $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$
若 $A, B$ 可逆，则 $AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
若 $A^T$ 可逆，则 $A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
$A^{-1})^{-1} = A$
$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$

2.5.6 求逆矩阵的方法

用公式，若 $\ne 0$ ，则 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$
初等变换法 ${\longrightarrow} (E | A^{-1})$ （过程为进行初等行变换）
用定义求 $B$ ，使 $A B = E$ 或 $B A = E$ ，则 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = B$
用分块矩阵，设 $B, C$ 都是可逆矩阵，则

$\begin{bmatrix} B & O \\ O & C \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} B^{-1} & O \\ O & C^{-1} \\ \end{bmatrix} ;~~~ \begin{bmatrix} O & B \\ C & O \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & C^{-1} \\ B^{-1} & O \\ \end{bmatrix}$

2.6 初等变换、初等矩阵

初等变换：设 $A$ 是 $\times n$ 阶矩阵

用某个非零常数 $\ne 0)$ 乘 $A$ 的某行（列）的每个元素；
互换 $A$ 的某两行（列）的位置；
将 $A$ 的某行（列）元素的 $k$ 倍加到另一行（列）；

称为矩阵的三种初等行（列）变换，且分别为初等倍乘、互换、倍加行（列）变换，统称初等变换

等阶矩阵：若矩阵 $A$ 经过有限次初等变换变成矩阵 $B$ 则称 $A$ 与 $B$ 等价，记成 $\cong B$

2.7 矩阵的秩

2.7.1 矩阵的秩的定义

设 $A$ 是 $\times n$ 矩阵，若 $A$ 中存在 $r$ 阶子式不等于零，且所有 $r + 1$ 阶子式（如果存在的话）均等于零，则称矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，记成 $r (A)$

零矩阵的秩规定为 0
经初等变换矩阵的秩不变
如果 $A$ 可逆，则 $r (A B) = r (B), r (B A) = r (B)$
若 $A$ 是 $\times n$ 矩阵，则 $\leq min(m, n)$

注： $k$ 阶子式：在 $\times n$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行 $k$ 列（ $\leq m, k\leq n$ ），位于这些行与列交叉点上的 $k^2$ 个元素按其在原来 $A$ 中的次序可构成一个 $k$ 阶行列式，称其为矩阵 $A$ 的一个 $k$ 阶子式

2.7.2 矩阵的秩的公式

$r(A) = r(A^T)$
$r(A^TA) = r(A)$
当 $\ne 0$ 时， $r (k A) = r (A)$
$\leq r(A) + r(B)$
$\leq min(r(A), r(B))$
若 $A$ 可逆，则 $r (A B) = r (B), r (B A) = r (B)$
若 $A$ 是 $\times n$ 矩阵， $B$ 是 $\times s$ 矩阵， $A B = O$ ，则 $\leq n$
分块矩阵

$r\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{bmatrix} = r(A) + r(B)$

2.8 分块矩阵

保证矩阵分块合理，有如下运算法则（能进行运算）

$\begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_{1} & B_{2} \\ B_{3} & B_{4} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1} + B_{1} & A_{2} + B_{2} \\ A_{3} + B_{3} & A_{4} + B_{4} \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AX + BZ & AY + BW \\ CX + DZ & CY + DW \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \\ \end{bmatrix}$

若 $B, C$ 分别是 $m$ 与 $s$ 阶矩阵，则

$\begin{bmatrix} B & O \\ O & C \\ \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} B^n & O \\ O & C^n \\ \end{bmatrix}$

若 $B, C$ 分别是 $m$ 与 $n$ 阶可逆矩阵，则

$\begin{bmatrix} B & O \\ O & C \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} B^{-1} & O \\ O & C^{-1} \\ \end{bmatrix} ,~~ \begin{bmatrix} O & B \\ C & O \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & C^{-1} \\ B^{-1} & O\\ \end{bmatrix}$