n！末尾有多少个零问题

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#math

例题

2015! 后面有几个0?

公式 ∑i=1N[n5i]\sum_{i=1}^{N} [\frac{n}{5^{i}}]∑i=1N​[5in​]
式中，N取 5^i 不大于n的正整数, [*]表示取整
由 2*5 = 10，末尾0的个数即为因子2或5的个数
n! 的标准分解式中 2的个数 >= 5的个数，所以关注5的个数即可.
即，n! 的标准分解式中5的个数决定其末尾0的个数，可得上述公式。

解：
N <= (lg2015) / lg(5) =4.7 ,则N取4

2015!末尾0的个数 = [2015/5] + [2015/25] + [2015/125] + [2015/625] = 502

求N!末尾0的个数
c
05-20 718
//5*2,2多,所以计算有多少个5 //如100!: 100/5=20,有20个数包含5,但100/25=4,有4个数包含2个5,所以20+4=24 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int i,n,ans; while(cin>>n) { ans=0; while(n) { n=n/5;
求n！末尾0的个数
11-20
求n！数的末尾0的个数.用c语言实现。 简单方便
判断N!末尾有多少个0
dcjhyn的博客
07-23 9079
问题：N的阶乘(N!)中的末尾有多少个0? 例如: N = 5,N! = 120.末尾有1个0. N = 10，N! = 3628800.末尾有2个0。分析:看到这个问题，有人可能第一反应是先求出N!,然后再根据求出的结果，最后得出N!的末尾有多少个0。但是转念一想，会不会溢出。其实，从”哪些数相乘可以得到10”这个角度，问题就变得比较的简单了。 首先考虑，如果N的阶乘为K和10的
n!后面有多少个0
peizhiinfo
08-17 360
很经典的一道数学题：求n！后面有多少个0。 我的思路： 从"那些数相乘可以得到10"这个角度，问题就变得比较的简单了。 首先考虑，如果N的阶乘为K和10的M次方的乘积，那么N!末尾就有M的0。如果将N的阶乘分解后，那么 N的阶乘可以分解为： 2的X次方，3的Y次方，4的5次Z方，.....的成绩。由于10 = 2 * 5,所以M只能和X和Z有关，每一对2和5相乘...
n的阶乘(n!)末尾有多少个0
01-06
n的阶乘(n!)末尾有多少个0？ 代码实现非常简单！！！—- n！的末尾有count个0. int n; // n！的末尾有count个0. int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { n /= 5; count += n; } 由于在N特别大的时候强行算出N！是不可能的，所以肯定要另找方法解决了。 首先，为什么末尾会有0？因为25 = 10，0就这么来了。所以只要求出这N！中有多少个2多少个5相乘就好了，由于而N！ = 123…*N，而每经过两个数就会有一个2，所以
N的阶乘(N!)中的末尾有多少个0?
zephyr_be_brave的专栏
06-22 1476
问题：N的阶乘(N!)中的末尾有多少个0?      例如:N = 5,N! = 120.末尾有1个0.   分析:想到这个问题，有人可能第一反应就是现求出N!,然后再根据求出的结果，最后得出N!的末尾有多少个0。但是转念一想，会不会溢出，等等。      其实，从"那些数相乘可以得到10"这个角度，问题就变得比较的简单了。      首先考虑，如果N的阶乘为K和10的M次方的乘
求N！末尾有多少个0
小雨的专栏
09-18 1440
求N！末尾有多少个0            题目：                 任意给定一个数n,求n!这个数的末尾有多少个0.（我们规定这里的n为正数）            分析：                  n！即1*2*3*4*.......*(n-1)*n,求其末尾的0的个数,即要找出这n个因子中能配对产生出尾数是0的,比如,2*5=10,就产生了一个0,这个0也必定是
精选资源
n的阶乘末尾有多少个0_n的阶乘末尾的0_
10-03
在给定的文件列表中，“n的阶乘末尾有多少个0.cpp”可能是实现这个算法的C++源代码，而“n的阶乘末尾有多少个0.exe”是编译后的可执行文件，用于直接运行程序并得到结果。 通过这种方法，我们可以有效地处理大数...
求出1!!×2!!×3!!×⋯×n!!的末尾有几个零
10-07
一个数末尾有几个零，取决于它的质因子中5的指数。观察阶乘表达式中的因子，我们可以发现，每个双阶乘的因子中都包含有5。而且由于偶数的双阶乘中有更多的5，所以我们只需要计算1!!×2!!×3!!×⋯×n!!中偶数的双...
C++版本计算n阶乘末尾0的个数原理讲解及代码实现
07-10
(N的阶乘)末尾有多少个0 nCount = Factorial(nTest); cout !末尾0的个数为: " ; // ... 其他测试案例 ... return 0; } ``` ##### 函数Factorial() 该函数`Factorial`接收一个整数`nNumber`作为参数，返回该整数...
N!的末尾有多少个0？
notishell的专栏
08-08 790
N的阶乘末尾有多少0呢？首先，得思考一下0到底是由哪些数贡献的，显而易见，一个2和5能贡献一个0，然后我们只需要计算2和5的因子的个数即可，最后取最小值就是0的个数！ N的阶乘是从1到N的乘积，因子2的个数明显多于5，只需要计算因子5的数量即可。1-N中5的倍数有N/5个，5²的倍数有N/5²个，5³的倍数有N/5³个，……，等等。因此易于求得因子5的个数，见代码6-11行。 计算N的阶乘因子
求N!中末尾有多少个0
cow__sky的专栏
07-01 1281
分析： 对N进行质因数分解 N=2^x * 3^y * 5^z...，由于10 = 2*5，所以末尾0的个数只和x与z有关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是末尾0的个数=min(x,z)。在实际中x是远远大于z的，所以我们只要求出z的值即可。   根据公式   z = N/5 + N/5^2 + N/5^3+...+N/5^k   这表明，5的倍数贡献了一个5,5^2的倍数又贡献了一
N!末尾有多少个零
ppppppppp2009的专栏
07-31 3326
题目一:210!最后结果有几个零。 请自己思索10分钟以上再看解释 凡是这种题目必有规律可言， 关键是你找到这个规律的恒心。可采用笨拙的方法思考。 1!  =  1                               ----  无0 2！ = 2 * 1！ = 2
n!的末尾0的个数
Demons的博客
07-30 4082
题目描述： 输入一个正整数n,求n!(即阶乘)末尾有多少个0？ 比如: n = 10; n! = 3628800,所以答案为2 。 解题思路： 对于这样的问题，我们可以换个思维方式，它要求0的个数，那么0是怎么来的？ 是不是一对2*5得到的0，所以我们可以分解这个问题分，把他看作是求整数n分解质因数后，一共有多少组min(2,5)，在当然2的个数肯定比5多，所以我们继续往...
确定N!末尾有几个0
子灬丶逾
07-22 700
确定N!末尾有几个0 其实就是找1到n有多少个因子5 int fun2(int n) { int num = 0; int i, j; for (i = 5; i &amp;lt;= n; i += 5) { j = i; while (j % 5 == 0) { num++; ...
n!末尾有多少个0
wuxiaowu547的博客
03-26 404
代码： #include&lt;cstdio&gt; #include&lt;iostream&gt; #include&lt;algorithm&gt; #include&lt;cstring&gt; #include&lt;cmath&gt; using namespace std; int main() { int n; while(~scanf("%d",&amp;n..
算法小记：n的阶乘(n!)末尾有多少个0
Pinker_Q
04-26 4369
n的阶乘(n!)末尾有多少个0？ 代码实现非常简单！！！---- n！的末尾有count个0. int n; // n！的末尾有count个0. int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { n /= 5; count += n; } 由于在N特别大的时候强行算出N！...
n！后面有多少个0、
小小程序员
04-22 999
n！后面有多少个0：阶乘末尾一个零表示进位，相当于是乘以10，而10=2*5 ，所以可以产生10的有以0,2,4,5,6,8结尾的数字。这里2是足够的，关键是5的个数。 n=10000时， 可分解产生一个数字5的个数：2000 * 5 =10000，2000个； 可分解产生两个数字5的个数：400 * (5 * 5) = 10000，400个； 可分解产生三个数字5的个数：80 * (5 * 5...
n！末尾有几个零？
jijun7885417的专栏
04-27 1004
一次笔试求100!末尾0的个数，当时慢慢的"凑"的结果末尾0的个数为24个，因为末尾0是由本身的末尾0（如10、20）、2*5所得的0、还有25，50，75所得的数再与2乘所得的0。若1000！呢？后来在网上了解到，有如下方法：  求n!末尾0个数，记为函数F(n!)      对于一个n，若它里面有k个包含5的因子，则与2相乘后末尾必有k个0(eg
求1000000!末尾有多少个零，用C语言代码
最新发布
07-13
<think>我们使用数学原理：阶乘末尾的零的个数由质因数分解中因子5的个数决定（因为2的个数总是多于5的个数）。 公式：count = n/5 + n/25 + n/125 + ... 直到n除以5的k次方为0。 对于1000000，我们只需要循环计算直到5的幂次超过1000000。 注意：直接计算阶乘再数零是不可行的，因为1000000!是一个非常大的数，无法用常规数据类型存储。 参考引用[2]中的思路：统计因子5的个数。 我们使用循环，每次将n除以5的幂，并将结果累加，直到当前5的幂大于n。 具体步骤： 1. 初始化计数器count为0。 2. 初始化除数div为5。 3. 当n除以div的商不为0时： count += n / div; div *= 5; 4. 返回count。 注意：div可能会溢出，但1000000的阶乘中，5的幂次最大为5^8=390625（因为5^9=1953125>1000000），所以循环8次，不会溢出。 因此，C语言代码实现如下：</think>要高效计算1000000!末尾零的数量，关键在于统计质因数分解中因子5的个数（因为因子2的数量总是多于因子5）。以下是优化后的C语言实现： ```c #include <stdio.h> // 计算n!中因子5的个数（高效算法） long long count_trailing_zeros(long long n) { long long count = 0; // 通过公式计算：Σ floor(n/5^k) for (long long i = 5; i <= n; i *= 5) { count += n / i; // 累加每个5的幂次贡献的因子5数量 } return count; } int main() { const long long n = 1000000; long long zeros = count_trailing_zeros(n); printf("%lld! 的末尾有 %lld 个零\n", n, zeros); return 0; } ``` ### 算法解析 1. **数学原理**：末尾零的数量由因子5的个数决定（因为$2\times5=10$产生一个零）[^2] 2. **高效公式**：使用$\sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{5^k} \right\rfloor$计算 - 对于$n=1000000$： - $\left\lfloor \frac{1000000}{5} \right\rfloor = 200000$ - $\left\lfloor \frac{1000000}{25} \right\rfloor = 40000$ - $\left\lfloor \frac{1000000}{125} \right\rfloor = 8000$ - ...（依此类推至$5^8=390625$） 3. **时间复杂度**：$O(\log_5 n)$，仅需8次循环完成计算 4. **输出结果**： ``` 1000000! 的末尾有 249998 个零 ``` ### 避免的常见错误 1. **不直接计算阶乘**：1000000!约$5.56\times10^{5565708}$位，无法用常规类型存储[^2] 2. **避免低效遍历**：引用[2]中的遍历法复杂度$O(n\log n)$，对$n=10^6$需约$10^7$次操作 3. **使用`long long`防溢出**：结果可能很大（$10^6!$约25万零） ### 算法优化说明 ```mermaid graph LR A[开始] --> B[初始化 count=0] B --> C[i=5] C --> D{i <= n?} D -->|是| E[count += n/i] E --> F[i *= 5] F --> D D -->|否| G[返回count] G --> H[结束] ``` > ⚠️ 注意：直接计算阶乘会导致**内存溢出**（如引用[2]所示），而高效算法仅需**8次除法操作**[^2]。
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