经典概率题（更新中）

最新推荐文章于 2025-04-12 14:24:31 发布

zz_daisy

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分类专栏： math 文章标签： probability

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zz_daisy/article/details/82315231

这是一组概率问题的综合，涵盖了从特殊的hash函数到游戏策略和几何概率。其中包括：1）当hash(S)的最大值为10时，字符串集合S的期望大小；2）按特定规则跳跃时，达到4的倍数格子的期望步数；3）1000以内与105互质的偶数数量；4）折线形成三角形的概率；5）重男轻女村庄的男女比例变化；6）构造新的概率发生器使0和1出现概率均等；7）抛硬币决定苹果归属时，先手的优势概率；8）三角形中蚂蚁不相撞的概率问题。

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考虑一个特殊的hash函数h，能将任一字符串hash成一个整数k，其中概率 P(k)=2^(-k)，k=1,2,…∞。对一个未知大小的字符串集合S中的每一个元素取hash值所组成的集合为h(S)。若h(S)中最大的元素 max h (S) = 10，那么S的大小的期望是_______。

先来一个简单的问题，一个色子，掷到6的期望是多少次呢。我相信这题目应该都能答出来，6次。六分之一的倒数  
就是6次了，但是要讲出里面的原因可不太简单。其实算这个期望次数可以按如下过程，假设期望是E。假设第一次  
掷到不是6，则概率是5/6,那么就期望还需要E次才能够掷到6，这个过程的期望是5/6*(1+E)，假设第一次掷到  
6，那么这个过程的期望就是1，概率是 1/6，综合以上可以看出来，E=5/6*(1+E) + 1/6 * 1, 解出来的就是  
E=6。

因此这个笔试题一样可以这样解决，假设期望大小是E，假设第一个字符串大小不是10，那么概率是1-1/(2^10)，  
并且这个过程的期望就变成了E+1，如果第一次字符串大小是10，那么这个过程的期望变为1，但是概率变为  
1/(2^10)。因此E=(1-1/(2^10))*(1+E) + 1/(2^10)1/6 * 1 解出来E就是2^10=1024了。

有1,2,3,......无穷个格子，你从1号格子出发，每次1/2概率向前跳一格，1/2概率向前跳两格，走到格子编号为4的倍数时结束，结束时期望走的步数为____。

设f(i)表示在第i号格子上时，期望再走多少步结束。
则从1号开始走，我们的目标是求f(1)
f(1) = 0.5 * ( 1 + f(2) ) + 0.5 * ( 1 + f(3) )                即有0.5概率走一步到2号，0.5概率走两步到3号
f(2) = 0.5 * ( 1 + f(3) ) + 0.5 * (