求N!末尾有多少个0

本文介绍了一种计算任意正整数n的阶乘(n!)末尾0的数量的方法。通过分析可知,只需要关注因子5的出现次数即可。文中给出了详细的解析过程及C++实现代码。

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                                      求N!末尾有多少个0

           题目:

                任意给定一个数n,求n!这个数的末尾有多少个0.(我们规定这里的n为正数)

           分析:

                 n!即1*2*3*4*.......*(n-1)*n,求其末尾的0的个数,即要找出这n个因子中能配对产生出尾数是0的,比如,2*5=10,就产生了一个0,这个0也必定是处于N!的这个数的末尾的0中的一个.因为因子2是有很多的,每一个偶数都能分解出一个因子2,所以我们就只要找因子5有多少个就行了,每个5的倍数的数都会有因子5,但是,是5的倍数的数里面可能不止一个因子5!!!!比如,是25的倍数的数,就至少有两个因子5,也就是说,是25的倍数的数,还会比5至少多产生一个0,125的倍数的数比5,25又至少还要多产生一个0,依此类推.....因此,这n个因子里面,因子5的个数为n/5+n/(5*5)+n/(5*5*5)+...n/x.....当然,n/x,这个x要不大于n......

             嗯嗯,这样一分析,代码就很容易了.....

        代码:

//   
//   n!末尾的0的个数即n/5+n/(5*5)+n/(5*5*5)+...n/x     (x<=n)
//
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int n,ans,x;       //ans用于统计n!末尾的0的个数
	cout<<"这是一个求n!末尾的0的个数的程序"<<endl<<"请输入n:"<<endl;
	while(cin>>n)
	{
		ans=0;x=5;    //每输入一个n,都要初始化
		while(x<=n)    //判断循环条件...
		{
			ans+=n/x;
			x*=5;
		}
		cout<<"n!末尾0的个数为:"<<ans<<endl<<"请输入n:"<<endl;
	}
	return 0;
}


 

<think>我们使用数学原理:阶乘末尾的零的个数由质因数分解中因子5的个数决定(因为2的个数总是多于5的个数)。 公式:count = n/5 + n/25 + n/125 + ... 直到n除以5的k次方为0。 对于1000000,我们只需要循环计算直到5的幂次超过1000000。 注意:直接计算阶乘再数零是不可行的,因为1000000!是一个非常大的数,无法用常规数据类型存储。 参考引用[2]中的思路:统计因子5的个数。 我们使用循环,每次将n除以5的幂,并将结果累加,直到当前5的幂大于n。 具体步骤: 1. 初始化计数器count为0。 2. 初始化除数div为5。 3. 当n除以div的商不为0时: count += n / div; div *= 5; 4. 返回count。 注意:div可能会溢出,但1000000的阶乘中,5的幂次最大为5^8=390625(因为5^9=1953125>1000000),所以循环8次,不会溢出。 因此,C语言代码实现如下:</think>要高效计算1000000!末尾零的数量,关键在于统计质因数分解中因子5的个数(因为因子2的数量总是多于因子5)。以下是优化后的C语言实现: ```c #include <stdio.h> // 计算n!中因子5的个数(高效算法) long long count_trailing_zeros(long long n) { long long count = 0; // 通过公式计算:Σ floor(n/5^k) for (long long i = 5; i <= n; i *= 5) { count += n / i; // 累加每个5的幂次贡献的因子5数量 } return count; } int main() { const long long n = 1000000; long long zeros = count_trailing_zeros(n); printf("%lld!末尾有 %lld 个零\n", n, zeros); return 0; } ``` ### 算法解析 1. **数学原理**:末尾零的数量由因子5的个数决定(因为$2\times5=10$产生一个零)[^2] 2. **高效公式**:使用$\sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{5^k} \right\rfloor$计算 - 对于$n=1000000$: - $\left\lfloor \frac{1000000}{5} \right\rfloor = 200000$ - $\left\lfloor \frac{1000000}{25} \right\rfloor = 40000$ - $\left\lfloor \frac{1000000}{125} \right\rfloor = 8000$ - ...(依此类推至$5^8=390625$) 3. **时间复杂度**:$O(\log_5 n)$,仅需8次循环完成计算 4. **输出结果**: ``` 1000000!末尾有 249998 个零 ``` ### 避免的常见错误 1. **不直接计算阶乘**:1000000!约$5.56\times10^{5565708}$位,无法用常规类型存储[^2] 2. **避免低效遍历**:引用[2]中的遍历法复杂度$O(n\log n)$,对$n=10^6$需约$10^7$次操作 3. **使用`long long`防溢出**:结果可能很大($10^6!$约25万零) ### 算法优化说明 ```mermaid graph LR A[开始] --> B[初始化 count=0] B --> C[i=5] C --> D{i <= n?} D -->|是| E[count += n/i] E --> F[i *= 5] F --> D D -->|否| G[返回count] G --> H[结束] ``` > ⚠️ 注意:直接计算阶乘会导致**内存溢出**(如引用[2]所示),而高效算法仅需**8次除法操作**[^2]。
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