同余类与剩余系[caioj数论]

同余类

对于$\forall a\in [0,m-1]$,集合$a+km(k\in \mathbb{Z})$的所有数模$m$同余，余数都是a
该集合称为一个模$m$的同余类，简记为$\overline{a}$.

剩余系

就是指对于某一个特定的正整数$n$，${\mathbb{N}}^{\ast }$集中的元素模$n$所得的余数域。

完全剩余系

对于正整数$m$,有$r_1,r_2,r_3,......,r_{m-2},r_{m-1},r_m$个同余类，且两两模m不同余，这些同余类所组成的集合叫做模m的完全剩余系

简化剩余系

对于模$m$的完全剩余系，从中选出与$m$互素的同余类元素，且这些元素模$m$两两不同余，组成模$m$的一个简化剩余系，最终得到的剩余系中元素个数为$\phi (m)$。
简化剩余系关于模m乘法封闭
这是因为若$a,b$$(0\le a,b<m)$,$a,b$与$m$互质，即$gcd(a,m)=gcd(b,m)=1$,因为$a,b$与$m$都无相同因子，故$a\ast b$与$m$也无相同因子，故$a\ast b$与$m$互质,所以$a\ast bmodm$也属于$m$的简化剩余系.