牛客多校05K题 Perfect Journey

这把牛客多校的A和K都不会（第四和第五题），但是发现B和C都很简单（虽然过的人比较少），过了5题。发现自己对FWT等多项式算法的理解还不是很够，写一个博客记录一下。

题意

一个 $n(n\le 2\ast 10^5)$ 个结点的树上面有 $m(m\le 22)$ 特别的边。给定 $k(k\le 2\ast 10^5)$ 条路径，问你从这 $k$ 条路径中最少选出多少条能够覆盖调所有的特别边，并求出方案数。

思路

转换成二进制，然后题意等价于从 $k$ 个整数里面选择最少的数使得全部或起来是 $2^m-1$

然后可以写成 $$\underset{t}{\min }[x^{2^m-1}](\sum _{i=0}^{2^m-1}{a}_i{x}^i{)}^t>0$$

定义 $x^i\times x^j=x^{i|j}$，$a_i$ 为路径中覆盖集合为 $i$ 的个数。

然后只需要先对 $\sum _{i=0}^{2^m-1}{a}_i{x}^i$ 进行一次 FWT，然后判断最少乘几次以后最高次项为 $>0$，让后对其系数乘上 $\frac{1}{t!}$ 即可

这样的复杂度是 $O(m^2{2}^m)$ 的，会超时

考虑使用二分，可以优化到 $O(m{2}^m\log m)$ 貌似已经可以通过。

因为我们只需要求出最高次项的系数，因此可以研究一下 iFWT 的过程。

void iOR(int *f) {
    for (int o = 2, k = 1; o <= lim; o <<= 1, k <<= 1) {
        for (int i = 0; i < lim; i += o) {
            for (int j = 0; j < k; j++) {
                f[i + j + k] = (f[i + j + k] - f[i + j] + mod) % mod;
            }
        }
    }
}

每一项对最高次项的系数的贡献都是 $-1$ 或者 $1$，如果其二进制有一个 $0$，就会反转一次。

因此总的贡献就是 $\sum _{i=0}^{2^m-1}(-1{)}^{popcnt(i\oplus mask)}{f}_i$，其中 $mask=2^m-1$

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