ABC417G - Binary Cat

题意

字符串 $S_0=0,S_1=1$，$S_i=S_l{S}_r(0\le l,r<i)$，让你输出 $S_i[X_i]$

思路

虽然没有做出来，但还是想写个题解。
赛时看到以为是左偏树/可并堆，然后我一直在思考应该怎么调整这个树形结构，发现不是很可行。
赛后看了通过的玩家的代码，发现他们用了倍增，然后我就去思考倍增怎么做。

单链倍增

如果是直接维护倍增，那么时间和空间复杂度都是 $O(n{\log }^{2}V)$，时间或许可行，但是空间一定会炸，大概思路如下：

设倍增数组 $nxt[i][j]$ 表示从点 $i$ 往后跳 $2^j$ 后到达的结点。

我们将 $S_l$ 和 $S_r$ 连起来以后只需要在 $nxt$ 数组不同的位置新开结点即可，也就是仍在 $S_l$ 内的最大的 $j$，这样每次新建 $O(\log V)$ 个结点，一共需要开 $10^9$ 级别的 int 和 long long，显然行不通。

树剖+倍增

学校里的大佬告诉我正确的做法用到了树剖，于是我意识到了可以用树剖降掉一个 $log$ 的空间复杂度。

这个的原理大概就像用树剖写的最近公共祖先（lca）只有 $O(n)$ 的空间复杂度，但是用倍增写的有 $O(n\log n)$ 的空间复杂度。因为树剖能很好的利用树形结构。

我们将单个字符全部存放在叶子结点，非叶子结点只记录子树大小。关于字符的顺序，就像平衡树那样下标小的放在左边，下标大的放在右边。

当我们令 $S_i=S_l{S}_r$ 的时候，就让结点 $l$ 作为结点 $i$ 的左儿子，让结点 $r$ 作为结点 $i$ 的右儿子。

接下来就要连重链，也就是那个儿子的子树大小 $siz[]$ 更大，就往哪边连重链。

下一步就需要维护重链上的倍增数组，这个倍增数组是从上往下的，$nxt[i][j]$ 记录从结点 $i$ 往下跳 $2^j$ 步到达的结点，$sum[i][j]$ 记录从结点 $i$ 开始的 $2^j$ 个重链上的结点的非重链左儿子（如果有）的子树大小之和。注意到，重链的长度最多为 $O(n)$，因此第二维只用开到 $20$ 即可。

最后就是查询 $S_i[X_i]$，总体思路就是先从重链往下跳，然后走轻儿子，然后再从重链往下跳，以此反复，直到到达结点 $0$ 或者结点 $1$

code