离散--第三章--一阶逻辑

第3章 一阶逻辑
• 3.1 一阶逻辑基本概念

• 3.2 一阶逻辑等值演算

3.1 一阶逻辑基本概念
• 3.1.1 命题逻辑的局限性
• 3.1.2 个体词、谓词与量词
– 个体常项、个体变项、个体域、全总个体域
– 谓词常项、谓词变项
– 全称量词、存在量词
• 3.1.3 一阶逻辑命题符号化
• 3.1.4 一阶逻辑公式与分类
– 一阶语言L （字母表、项、原子公式、合式
公式）
– 辖域和指导变元、约束出现和自由出现
– 闭式
– 一阶语言L 的解释
– 永真式、矛盾式、可满足式
– 代换实例
命题逻辑的局限性
考虑下述推理:
凡偶数都能被2整除, 6是偶数, 所以6能被2整除.
在命题逻辑中
令 p: 凡偶数都能被2整除, q: 6是偶数, r: 6能被2整除
符号化为 (p  q)  r
不能证明其正确性
个体词与个体域
个体词: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体
个体常项: 表示具体事物的个体词, 用a, b, c等表示
个体变项: 表示抽象事物的个体词, 用x, y, z等表示
个体域: 个体变项的取值范围
全总个体域: 宇宙间一切事物
例如 “若x是偶数, 则x能被2整除.”
x、 偶数和2是个体词, 偶数和2是个体常项, x是个体变项
个体域可以是自然数集N, 整数集Z,…, 也可以是全总个
体域
6
谓词
谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词
谓词常项: 表示具体性质或相互之间关系的谓词
谓词变项: 表示抽象性质或相互之间关系的谓词
谓词用F,G,H,P等表示
n元谓词P(x1, x2,…, xn): 含n个命题变项的谓词, 是定义在
个体域上, 值域为{0,1}的n元函数
一元谓词: 表示事物的性质
多元谓词(n2): 表示事物之间的关系
0元谓词: 不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项

实例
例1 (1) 4是偶数
4是个体常项, “是偶数” 是谓词常项, 符号化为: F(4)
(2) 小王和小李同岁
小王, 小李是个体常项, 同岁是谓词常项. 记a:小王,
b: 小李, G(x,y): x与y同岁, 符号化为: G(a,b)
(3) x< y
x,y是个体变项, < 是谓词常项, 符号化为: L(x,y)
(4) x具有某种性质P
x是个体变项, P是谓词变项, 符号化为: P(x)
量词
量词: 表示数量的词
全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等
如 x 表示对个体域中所有的x
x F(x) 表示所有的x具有性质F
存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等
如 x 表示在个体域中存在x
x F(x) 表示存在x具有性质F
一阶逻辑命题符号化
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化:
(1) 人都呼吸; (2) 有人用左手写字
个体域分别取(a) 人类集合, (b) 全总个体域 .
解: (a) (1) 设F(x): x呼吸, 符号化为 x F(x)
(2) 设G(x): x用左手写字, 符号化为 x G(x)
(b) 设M(x): x为人， F(x), G(x)同(a)中
(1) x (M(x)F(x))
(2)  x (M(x)G(x))
M(x)称作特性谓词
实例
例4 将下列命题符号化, 并讨论其真值:
(1) 对任意的x, 均有x2-3x+2=(x-1)(x-2)
(2) 存在x, 使得x+5=3
分别取(a) 个体域D1=N, (b) 个体域D2=R
解 记F