离散--关系4.1-4.2

第4章 关系
4.1 关系的定义及其表示
4.2 关系运算
4.3 关系的性质

4.4等价关系与偏序关

4.1关系的定义及其表示
4.1.1 有序对与笛卡儿积
4.1.2 二元关系的定义
4.1.3 二元关系的表示系

4.1.1有序对与笛卡儿积
4.1.2 二元关系的定义

4.1.3二元关系的表示系

有序对
定义4.1由两个元素，如x和y，按照一定的顺序
组成的二元组称为有序对，记作 <x,y>
实例：点的直角坐标 (3,4)
有序对的性质
有序性 <x,y><y,x>（当xy时）
<x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是
<x,y>=<u,v> x=u  y=v
例1<2,x+5>=<3y4,y>，求x, y.
解 3y4=2,x+5=y y=2, x=3

笛卡儿积
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定义4.2 设A, B为集合， A与B 的笛卡儿积记作AB，
例2 A={0, 1}, B={a, b, c}
A={0, 1}, B={a, b, c}   

笛卡儿积像是排列组合  都见一面。

对于并或交运算满足分配律
A(BC)=(AB)(AC)
(BC)A=(BA)(CA)
A(BC)=(AB)(AC)
(BC)A=(BA)(CA)
若A或B中有一个为空集，则AB就是空集.
A=B=
不适合交换律
ABBA(AB,A,B)
不适合结合律
(AB)CA(BC) (A,B,C)
若|A|=m, |B|=n,则 |AB|=mn

有序n 元组和n 阶笛卡尔积
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定义4.3
(1) 由n 个元素x1,x2, …,xn按照一定的顺序排列构成
有序 n 元组，记作<x1,x2, …,xn>
(2) 设A1,A2, …,An为集合，称
A1A2…An={<x1,x2, … ,xn> |xiAi,i=1,2, …,n}
为 n 阶笛卡儿积.
实例
(1,1,0)为空间直角坐标，(1,1,0)RR R

二元关系的定义
定义4.4
如果一个集合满足以下条件之一：
（ 1）集合非空,且它的元素都是有序对
（ 2）集合是空集
则称该集合为一个二元关系,简称为关系，记作R.
如<x,y>∈R,可记作 xRy；如果<x,y>R,则记作x y
实例： R={<1,2>,<a,b>},S={<1,2>,a,b}.
R是二元关系,当a,b不是有序对时，S不是二元关系
根据上面的记法，可以写1R2,aRb等.

5元关系的实例—数据库实体模型

5元组：
<301,张林,50,男,1600>，<302,王晓云,43,女,1250>

4.2 关系运算
• 4.2.1 关系的基本运算
– 定义域、值域、域、逆、合成
– 基本运算的性质
• 4.2.2 关系的幂运算
– 幂运算的定义
– 幂运算的方法
– 幂运算的性质

关系的基本运算
定义4.10 定义域、 值域 和 域
domR = {x | y (<x,y>R) }
ranR = {y | x (<x,y>R) }
fldR = domR  ranR
例1
R={<a,{b}>,<c,d>,<{a},{d}>,<d,{d}>}, 则
domR =
ranR =
fldR = { a, c, {a}, d, {b}, {d}}
{ a, c, {a}, d }
{{b}, d, {d}}

4.2 关系运算
• 4.2.1 关系的基本运算
– 定义域、值域、域、逆、合成
– 基本运算的性质
• 4.2.2 关系的幂运算
– 幂运算的定义
– 幂运算的方法
– 幂运算的性质

关系的基本运算
定义4.10 定义域、 值域 和 域
domR = {x | y (<x,y>R) }
ranR = {y | x (<x,y>R) }
fldR = domR  ranR
例1
R={<a,{b}>,<c,d>,<{a},{d}>,<d,{d}>}, 则
domR =
ranR =
fldR = { a, c, {a}, d, {b}, {d}}
{ a, c, {a}, d }
{{b}, d, {d}}
定义4.11 R 的逆
R1 = {<y,x> | <x,y>R}
定义4.12 R与S的合成
R∘S = |<x,z> |  y (<x,y>R<y,z>S) }
例2 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}
S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}
R1 =
R∘S =
S∘R =
{<1,3>, <2,2>, <2,3> }
{<2,1>, <3,2>, <4,1>,<2,2>}
{<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}

基本运算的性质
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定理4.1 设F是任意的关系, 则
(1) (F1)1=F
(2) domF1=ranF, ranF1=domF
证 (1) 任取<x, y>, 由逆的定义有
<x, y>∈(F  1)1  <y, x>∈F1  <x, y>∈F
所以有 (F1)1=F
(2) 任取x,
x∈domF1  y(<x, y>∈F1)
 y(<y, x>∈F)  x∈ranF
所以有domF1= ranF. 同理可证 ranF1 = domF.

定理4.2 设F, G, H是任意的关系, 则
(1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H)
(2) (F∘G)1= G1∘F1
证 (1) 任取<x,y>,
<x, y>(F∘G)∘H
 t (<x, t>∈F∘G∧<t, y>∈H)
 t (s (<x, s>∈F∧<s, t>∈G)∧<t, y>∈H)
 t s (<x, s>∈F∧<s, t>∈G∧<t, y>∈H)
 s (<x, s>∈F∧t (<s, t>∈G∧<t, y>∈H))
 s (<x, s>∈F∧<s, y>∈G∘H)
 <x, y>∈F∘(G∘H)
所以 (F∘G)∘H = F∘(G∘H)

定理4.3 设 R 为 A上的关系, 则
R∘I
A= IA∘R = R

A上关系的幂运算定义
定义4.13 设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂是
(1) R0 = {<x,x> | x∈A } = IA
(2) Rn+1 = Rn∘R
注意：
对于A上的任何关系R1和R2都有
R
1
0
= R20= I
A
对于A上的任何关系 R 都有
R1 = R