光波导中的导模的形成

核心思想：全反射与相长干涉

导模形成的本质可以归结为两点：

1. 全内反射：光在波导芯层（高折射率）和包层（低折射率）的界面上发生全反射，从而将光能量限制在芯层内传播。

2. 相长干涉：光在波导内不是简单地“弹跳”，而是只有满足特定相位条件的“弹跳”光波才能稳定存在并相干叠加，形成稳定的横向能量分布（即模式）。

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1. 波导的基本结构

我们以最简单的平板波导为例，它由三层组成：

• 芯层：中间层，折射率最高（记为 n1）。

• 包层：上下两层，折射率较低（分别记为 n2 和 n3，通常 n2 = n3）。

• 基本条件：n1 > n2 >= n3。

光被限制在 y 方向（厚度方向），在 x-z 平面内自由传播。我们关心光沿 z 方向的传播。

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2. 从射线光学角度理解（直观图像）

我们可以把光的传播看作一束光线在上下界面之间以角度 θ 来回“之”字形前进。

• 全反射条件：要使光被限制住，光线撞击界面的入射角 θ 必须大于临界角 θc（θc = arcsin(n2/n1)）。

• 问题来了：如果所有大于 θc 的光都能传播，那为什么还会有“模式”的概念？为什么不是连续的呢？

关键点：相位匹配条件（横向谐振条件）

想象一下，我们跟踪一条光线从波导下界面（点A）反射，到达上界面（点B）反射，再回到下界面（点C）的整个过程。

1. 总相位变化：光线从A到C，经历了三段相位变化：

   • 几何路径带来的相位延迟：光在介质中传播距离，相位会落后。路径越长，相位落后越多。

   • 两次全反射带来的相位跃变：当光发生全反射时，并非只是简单的反射，它会产生一个与入射角和偏振态相关的Goos-Hänchen相移（2Φ）。这个相移是理解导模的关键。

2. 谐振条件：为了形成一个稳定的、不自我抵消的驻波模式（即导模），光波在完成一次完整的“之”字形路径（A->B->C）后，其总相位变化必须是 2π 的整数倍。这样，波才能与自己相干叠加，产生相长干涉。

   数学表达式（横向谐振条件）：
   2 * k0 * n1 * d * cos(θ) - 2Φ12 - 2Φ13 = 2mπ （m = 0, 1, 2, ...）

   • k0 = 2π/λ0：真空中的波数。

   • d：波导芯层的厚度。

   • θ：光线与z轴的夹角。

   • 2Φ12 和 2Φ13：分别在上下界面全反射时产生的Goos-Hänchen相移。

   • m：模序数，一个整数，它决定了是第几个模式。

这意味着什么？
并不是所有大于临界角 θc 的光线都能在波导中稳定传播。只有那些入射角 θ 精确满足上述方程的光线，才能形成导模。对于给定的波导结构（n1, n2, n3, d）和光波长（λ0），只有离散的、有限的一系列 θm 角是允许的。

• 每个允许的 θm 对应一个导模。

• m=0 对应角度最大（最接近垂直方向）的基模。

• m 越大，θ 越小（越接近临界角），模式越高级。

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3. 从波动光学角度理解（更严格的解释）

射线光学很直观，但波动光学才能完整描述光的电磁场分布。根据麦克斯韦方程组，光在波导中的传播可以用亥姆霍兹方程来描述。

求解过程：

1. 假设解的形式：由于波导在z方向是均匀的，我们可以假设电磁场的形式为 Ψ(x,y,z) = ψ(y) * exp(-jβz)。其中 ψ(y) 是场在横向（y方向）的分布，β 是传播常数（表示波在z方向单位距离的相位变化）。

2. 分区求解：在芯层、上包层、下包层三个区域分别求解波动方程。由于折射率不同，方程的解的形式也不同：

   • 芯层 (|y| < d/2)：解是振荡形式的（正弦或余弦函数），因为这里光以行波形式横向传播。

   • 包层 (|y| > d/2)：解必须是指数衰减形式的。这是因为如果包层中的场不衰减，就意味着能量辐射出去了，这就不是导模了。这要求 β > k0*n2 且 β > k0*n3。

3. 边界条件匹配：在芯层和包层的界面（y = ±d/2）上，电磁场的切向分量（对于平板波导是Ex和Hz，或Ey和Hz，取决于偏振）必须连续。

4. 本征值方程：应用边界条件后，我们会得到一组方程。这组方程只有对于特定的 β 值才有非零解。这个 β 就是本征值，而对应的场分布 ψ(y) 就是本征函数（即模式场分布）。

结果：

• 离散的传播常数：求解得到的 β 是离散的，记为 βm（m=0,1,2...）。βm 与射线光学中的 θm 通过关系式 β = k0 * n1 * sin(θ) 一一对应。

• 模式场分布：每个导模都有其独特的横向电场和磁场分布 ψ_m(y)。

  • 在芯层内，场是振荡的，m 的值决定了场在y方向上有几个极值（m+1 个峰）。

  • 在包层中，场指数衰减，称为消逝场。光能量并不是100%限制在芯层内，有少量能量会渗透到包层中。

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总结：导模的形成条件与特性

1. 必要条件（约束条件）：k0 * n2 < β < k0 * n1 （对于对称波导 n2=n3）。

   • β > k0*n2 保证了光在包层中是指数衰减的（消逝场），能量被限制住。

   • β < k0*n1 保证了光在芯层中是振荡的传播波。

   • 如果 β < k0*n2，光会辐射到包层中，称为辐射模。

2. 形成机制：全内反射提供了横向约束，而横向谐振（波动性的相长干涉）决定了只有特定的、离散的传播状态是稳定的。

3. 模式特性：

   • 离散性：导模是离散的，不是连续的。一个波导能支持的模式总数由 V 参数决定：V = (2πd / λ0) * NA（NA 为数值孔径）。V 越大，支持的模式越多。当 V < π/2 时，波导为单模波导，只支持基模（m=0）传输。

   • 截止：对于高阶模式（m较大），当波导尺寸（d）变小或波长（λ0）变大时，β 会趋近于 k0*n2，此时模式无法被有效约束，称为模式截止。

   • 色散：不同模式有不同的传播常数 βm，因此它们以不同的速度（相速度 ω/βm）传播，这称为模间色散。