光学基础知识（6）基尔霍夫衍射理论

基尔霍夫衍射理论是描述光波衍射现象的经典数学理论，它建立在惠更斯—菲涅耳原理的基础上，但通过数学上的严格推导，对衍射现象进行了更精确的描述。德国物理学家古斯塔夫·基尔霍夫（Gustav Kirchhoff）在19世纪提出了这个理论，它适用于描述各种衍射情况，尤其是对于小孔或狭缝产生的衍射图样。

基尔霍夫衍射理论的基本思想

基尔霍夫衍射理论利用波动方程对衍射过程进行求解，通过建立数学表达式，推导出波在空间任意一点的振幅和相位。基尔霍夫在推导中引入了以下假设：

1. 惠更斯—菲涅耳原理：每一个波面上的点都可以视作一个次波源，且所有次波源的振幅和相位叠加形成新波面。
2. 边界条件：基尔霍夫引入了严格的边界条件，假设衍射孔周围的光波满足特定的边界条件（例如光在障碍物表面等于零）。
3. 定态波场：基尔霍夫衍射理论通常基于定态波场假设，即光波的频率是恒定的，适用于单色光源的情况。

基尔霍夫衍射积分公式

基尔霍夫利用波动方程推导出了一般的衍射积分公式，用来描述观察点 PPP 处的波振幅（或强度）。假设光源为单色波源，波长为 λ\lambdaλ，则在一个孔径 SSS 通过后，观察点 PPP 处的振幅 U(P)U(P)U(P) 可以表示为：

其中：

• U(P)：观察点 PPP 处的波振幅。
• S：孔的面积。
• ∂n\∂n∂​：在孔径表面法线方向的偏导。
• r1​：从孔径表面点到观察点的距离。
• k：波数，定义为 k=2π/λ。

此积分公式是基尔霍夫衍射理论的核心，可以计算衍射屏后的波在任意观察点处的振幅和相位。通过求解这个积分，可以获得衍射图样的详细信息。

具体推导过程与假设

在推导过程中，基尔霍夫假设波动方程满足一定的边界条件，即孔径以外的屏幕和其他障碍物上的波振幅为零。此外，为简化求解，一般假设观察点位于远场区域，即衍射距离较远，这样积分可以进一步简化为夫琅和费（Fraunhofer）衍射。

常见应用：单缝和双缝衍射

基尔霍夫衍射理论可以用于计算单缝、双缝等不同类型的衍射现象。例如：

• 单缝衍射：使用基尔霍夫衍射积分公式，可以导出经典的单缝衍射强度分布公式，即中央明亮区域最大、两侧的亮区逐渐减弱。
• 双缝衍射：对于双缝衍射，基尔霍夫衍射积分可以用于推导出双缝间的干涉条纹位置和强度分布。

基尔霍夫衍射的局限性

尽管基尔霍夫衍射理论具有较高的精度，但它仍然有一些局限性：

• 边界条件的近似性：基尔霍夫假设孔周围的屏幕区域波振幅为零，这在实际情况中不总是成立。
• 高斯波束和复杂波形：对于复杂的光束（如高斯波束），基尔霍夫衍射公式不一定能完全准确地描述。

重要性和影响

基尔霍夫衍射理论是现代波动光学的重要组成部分，尤其在描述复杂的光波传播和衍射现象时具有重要应用。该理论为精确描述衍射现象提供了数学基础，并奠定了现代物理光学的理论基础。