1、搜索与回溯

 

一、课程目标

1. 搜索的概念
2. 回溯的作用
3. 算法的要素
4. 案例
5. 基本模型

二、目标详解

1、搜索的概念

我们学过枚举算法：穷举所有的状态，进行判定，获得解。

然而有些问题的状态比较特殊，是由多个维度组成，比如百钱买百鸡，状态是公鸡数x、母鸡数y、小鸡数z的组合，那么这些状态如何穷举呢？

如果维度不多，可以用多重循环实现，当维度比较多或者个数不确定的时候，就需要用到搜索算法了。

搜索算法利用递归函数来获得所有的维度组合，进而筛选出需要的状态，进行判定求解。

2、回溯

搜索时，当某个状态明显不满足，就可以退回上一个状态，继续选择别的方向。这种思想就称为回溯。

假设每一步的状态为Xi，某一个解（由状态组成的路径）为X1 .. Xn。

使用回溯法的前提：

• 如果X1..Xn成立，则X1..Xn-1肯定也成立。
• 如果X1..Xn不成立，则X1..Xn+1肯定也不成立。

3、搜索算法的要素

搜索算法往往采用递归函数的方式来实现搜索＋回溯，实际如果熟练掌握算法的要素的话，也可以采用栈、死循环等方式来实现。

3.1 退出

如果把搜索算法看成很多层选择的话，那么当每一层的选择（路径）都走完以后，就可以退出了。

退出条件：

• 栈结构实现：栈里没有节点，就退出。
• 递归函数实现：第一层函数调用结束，自然退出。相当于栈里没有节点了。
• 死循环实现：从第一层开始搜索，每层搜索结束，回退一层，到第0层就表示退出。

3.2 求解

最后一层有可行路径，表示有了一个解（从第一层到最后一层的路径）。

一般每一层有可行路径后，即进入下一层搜索，如果下一层超过了层数就表示有解。

3.3 选择

每层根据可选的路径进行选择，根据某种判定条件检查路径是否可行，如果可行就进入下一层搜索。

如果所有选择都不可行（表示无解）则回退到上一层。

3.4 回溯

• 当进入下一层前，记录本层的选择，一方面可能下一层的判定要用到，另一方面求解时用到。
• 当求解完成回退，或某层无解回退时，需要把上一层的记录清除，以便上一层再往下选择。

4、案例

以1-3的全排列为例子，如下图：

• 第一轮：
  • 第一层1..3中选择了1
  • 然后调用第二层1..3中选择了2（1已经被第一层选择）
  • 然后调用第三层1..3中选择了3（1，2已经被选）
  • 解为1 2 3，然后回溯到第三层
  • 第三层已经没有可选，继续回溯到第二层
  • 第二层还有3可以选择，因此作为第二轮的开始
• 第二轮：
  • 第一层不变，从第二轮开始
  • 第二轮选择3
  • 然后调用第三层1..3中选择2（1, 3已经被选）
  • 解为1 3 2，然后回溯到第三层
  • 第三层已经没有可选，继续回溯到第二层
  • 第二层已经没有可选，继续回溯到第一层
  • 第一层还有2、3可选，因此作为第三轮的开始
• 第三轮…依次类推

5、基本模型

void search() {
  if(有解) {
    处理解
    返回;
  }

  for(本层可行的选择) {
    状态变化;
    search();//往下递归搜索
    回溯;
  }
}

四、扩展理解

1、递归与搜索

一般搜索会使用递归进行回溯，要注意，搜索的重点是回溯而不是递归。

搜索的每一次递归迭代代表一层方向的选择，一般是用循环来实现。比如1-3全排列里面，第一次递归代表第一个位置的选择（有3个），然后递归下去，代表第一层选择确定的情况下，第二层的选择（也有3个），以此类推。

对应的，当某层选择不可行（或已到最后）时，回溯到上一层，需要清除掉上一层的记录。

对比搜索递归与分治递归，会发现区别就在于有没有回溯。

为什么要回溯？就是因为上一层还要再看看别的方向选择。

2、解空间树

使用回溯法解题时，如果把每层搜索的状态按照树的结构连接起来，就会组成一个解空间树。树的一条边（从根到叶子）就是一个解，常见的解空间树一般可分为为排列树和子集树。

2.1 排列树

当问题为寻求n个元素的某种排列时，解空间树称为排列树，排列树通常有n!个叶子节点（第一层有n个选择，第二层n-1，依次类推）。

2.2 子集树

当问题为在n个元素的集合种找某种子集时，解空间树称为子集树。子集树实际就是满二叉树，叶子节点为为2^n个。