2、二维动态规划

 

一、课程目标

1. 二维动态规划
2. 例子－路径总数
3. 例子-LCS

二、目标详解

1、二维动态规划

动态规划入门里，状态都只有一个维度，一般为dp[k]，称之为线性动态规划。

当维度有两个的时候，需要用二维的状态来解决问题，例如棋盘、矩阵、路径等类别的问题。

更准确的说，二维动态规划指线性动态规划的拓展，在一个平面上做动态规划。

规律：当前格子的状态，往往与左边、上边、左上的格子状态有关。

2、例子－路径总数

对于m*n的矩阵，每个点只能往下或者往右，计算从A点走到B点一共有多少种路径。

假设A为(1, 1)的点，B为(m, n)

定义状态：定义dp[i][j]为从A点到达点(i, j)的路径总数

则状态转移方程为：

• i=0 或 j= 0：dp[i][j] = 0
• dp[1][1] = 1
• i, j >1：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

3、例子－LCS

最长公共子序列(LCS)的长度：子序列中的每个元素都能在两个序列中找到， 而且先后顺序和原序列中的先后顺序一致。

例如：a=[1, 2, 3, 4, 5], b=[6, 1, 3, 2, 4, 7]，最长公共子序列为1 2 4， 或 1 3 4，长度都为3

定义状态dp[i][j]为Ai与Bj的LCS的长度，i和j就代表了两个维度。

状态转移方程：

• 当i=0或j=0时：dp[i, j] = 0
• 当i、j>0且ai=bj：dp[i, j] = dp[i-1, j-1] + 1
• 当i、j>0且ai!=bj：dp[i, j] = max(dp[i-1, j], dp[i, j-1])

对于二维动态规划的理解，实际就是根据矩阵进行递推，如下：

A\B	-	6	1	3	2	4	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	1	1	1	1
2	0	0	1	1	2	2	2
3	0	0	1	2	2	2	2
4	0	0	1	2	2	3	3
5	0	0	1	2	2	3	3

以上：

• 第一行和第一列都为0，然后依次往左往右填充
• 如果两个元素相同，则取左上的值加1
• 如果两个元素不同，则取左边、上边的最大值
• 最右下就是递推的结果