2、二维动态规划

本文深入解析二维动态规划,涵盖路径总数与最长公共子序列(LCS)两大经典案例,阐述状态定义、状态转移方程及递推过程,助力算法学习。

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一、课程目标

  1. 二维动态规划
  2. 例子-路径总数
  3. 例子-LCS

二、目标详解

1、二维动态规划

动态规划入门里,状态都只有一个维度,一般为dp[k],称之为线性动态规划。

当维度有两个的时候,需要用二维的状态来解决问题,例如棋盘、矩阵、路径等类别的问题。

更准确的说,二维动态规划指线性动态规划的拓展,在一个平面上做动态规划。

规律:当前格子的状态,往往与左边、上边、左上的格子状态有关。

2、例子-路径总数

对于m*n的矩阵,每个点只能往下或者往右,计算从A点走到B点一共有多少种路径。

假设A为(1, 1)的点,B为(m, n)

定义状态:定义dp[i][j]为从A点到达点(i, j)的路径总数

则状态转移方程为:

  • i=0 或 j= 0:dp[i][j] = 0
  • dp[1][1] = 1
  • i, j >1:dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

3、例子-LCS

最长公共子序列(LCS)的长度:子序列中的每个元素都能在两个序列中找到, 而且先后顺序和原序列中的先后顺序一致。

例如:a=[1, 2, 3, 4, 5], b=[6, 1, 3, 2, 4, 7],最长公共子序列为1 2 4, 或 1 3 4,长度都为3

定义状态dp[i][j]为Ai与Bj的LCS的长度,i和j就代表了两个维度。

状态转移方程:

  • 当i=0或j=0时:dp[i, j] = 0
  • 当i、j>0且ai=bj:dp[i, j] = dp[i-1, j-1] + 1
  • 当i、j>0且ai!=bj:dp[i, j] = max(dp[i-1, j], dp[i, j-1])

对于二维动态规划的理解,实际就是根据矩阵进行递推,如下:

A\B-613247
00000000
10011111
20011222
30012222
40012233
50012233

以上:

  • 第一行和第一列都为0,然后依次往左往右填充
  • 如果两个元素相同,则取左上的值加1
  • 如果两个元素不同,则取左边、上边的最大值
  • 最右下就是递推的结果

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