11、树

 

一、树的定义

树（tree）是包含n（n>=0）个结点的有穷集，其中：

1. 每个元素称为结点（node）；
2. 有一个特定的结点被称为根结点或树根（root）；
3. 除根结点之外的其余数据元素被分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）；
4. 单个结点是一棵树，树根就是该结点本身；
5. 空集合也是树，称为空树。空树中没有结点。

树也可以这样定义：树是由根结点和若干颗子树构成的。树是由一个集合以及在该集合上定义的一种关系构成的。集合中的元素称为树的结点，所定义的关系称为父子关系。父子关系在树的结点之间建立了一个层次结构。在这种层次结构中有一个结点具有特殊的地位，这个结点称为该树的根结点，或称为树根。

二、树的特点

树状图是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个结点有零个或多个子结点；
• 没有父结点的结点称为根结点；
• 每一个非根结点有且只有一个父结点；
• 除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树；

三、相关术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
• 分支节点或非终端节点：度不为0的节点；
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

四、树的种类

• 无序树：树中任意节点的子结点之间没有顺序关系，这种树称为无序树,也称为自由树；
• 有序树：树中任意节点的子结点之间有左右顺序关系，这种树称为有序树；
• 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
• 完全二叉树：一棵二叉树至多只有最下面的两层上的结点的度数可以小于2，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上；
• 满二叉树：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点二叉树；

一、题目描述

如图为一颗树，试用术语描述该树。

二、分析

可从以下几个方面来进行描述：

1. 树的类型。
2. 各节点的度、树的度。
3. 根节点、叶子节点。
4. 树的深度、各节点层次。
5. 各节点的双亲节点、子节点、子孙节点、祖先节点、兄弟节点、堂兄弟节点。