12、树的存储

 

一、课程目标

了解树的三种存储结构，能够编码实现树的存储以及访问等操作。

二、目标详解

说到存储结构，无外乎顺序存储以及链式存储两种。就顺序存储而言，在内存中用一段连续的存储单元依次存储线性表的数据元素，如数组、栈、队列等。对于线性数据结构来说，顺序存储是很自然的，但是对于树这种一对多的结构呢？

树中某个结点的孩子可以有多个，这就意味着，无论按照何种顺序将树中所有结点存储到数组中，结点的存储位置都无法直接反映逻辑关系。如果用顺序结构，数据元素挨个的存储，那么谁是谁的双亲谁是谁的孩子呢？因此简单的顺序存储结构是不能满足树的实现要求的。

对于树的存储，要充分利用顺序存储和链式存储的特点，我们这里介绍三种常用的邻接表的存储方法：双亲表示法、孩子表示法、双亲孩子表示法。

下图为要存储的示例树的逻辑结构：

1. 双亲表示法

在树中，结点可能会没有孩子，但是除了根节点外，每个结点都会有一个确定的双亲。我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个节点中，附设一个指示器指出其双亲结点在链表中的位置，也就是说，每个节点除了知道自己是谁以外，还知道它的双亲在哪里。各结点的结构如下所示：

data	parent
数据域：结点数据信息	指针域：存储双亲结点位置

代码实现：

#define Max_Node_Num 100  // 结点最大个数

struct Node  // 结点结构
{
  char data;  // 数据域，类型可变
  int parent;  // 指针域，双亲位置
};

struct Tree  // 树结构
{
  Node nodes[Max_Node_Num];  // 结点数组
  int root;  // 根节点位置
  int num;  // 结点数
};

下图为示例树的双亲表示法的存储结构：

双亲表示法的特点：

• 由于根节点是没有双亲的，一般约定根节点的指针域值为-1。
• 根据结点的parent指针，可以很容易的找到它的双亲结点。所用时间复杂度为O(1)，知道parent值为-1时，表示找到了树的根。
• 如果想要找到孩子结点，需要遍历整个结构才行。

2. 孩子表示法

把每个结点的孩子排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中，结点结构如下：

• 表头数组的表头结点

data(数据域)	firstchild(头指针域)
存储某个结点的数据信息	存储该节点的孩子链表的头指针

• 孩子链表的孩子结点

child(数据域)	next(指针域)
存储某个结点在表头数组的下标	存储指向某节点的下一个孩子结点的指针

代码实现：

#define Max_Node_Num 100  // 结点最大个数

struct Child  // 孩子结点
{
  int child;  // 孩子结点的下标
  Child* next;  // 下一个孩子结点的指针
};

struct Box  // 表头结构
{
  char data;  // 数据域：存放各结点数据
  Child* firstchild;  // 指向第一个孩子结点的指针
};

struct Tree  // 树结构
{
  Box nodes[Max_Node_Num];  // 结点数组
  int root;  // 根节点位置
  int num;  // 结点数
};

下图为示例树的孩子表示法的存储结构：

对于孩子表示法，查找某个结点的某个孩子，或者找某个结点的兄弟，只需要查找这个结点的孩子单链表即可。但是当要寻找某个结点的双亲时，就不是那么方便了。所以可以将双亲表示法和孩子表示法相结合，形成双亲孩子表示法。

3. 双亲孩子表示法

在孩子表示法的表头结构中添加存储结点双亲位置的指针，变为如下结构：

data	parent	firstchild
存储某个结点的数据信息	存储双亲结点位置	存储该节点的孩子链表的头指针

代码实现：

#define Max_Node_Num 100  // 结点最大个数

struct Child  // 孩子结点
{
  int child;  // 孩子结点的下标
  Child* next;  // 下一个孩子结点的指针
};

struct Box  // 表头结构
{
  char data;  // 数据域：存放各结点数据
  int parent;  // 存放双亲结点的位置
  Child* firstchild;  // 指向第一个孩子结点的指针
};

struct Tree  // 树结构
{
  Box nodes[Max_Node_Num];  // 结点数组
  int root;  // 根节点位置
  int num;  // 结点数
};

下图为示例树的双亲孩子表示法的存储结构：

4. 孩子兄弟表示法

各节点的指针域存放子节点和兄弟节点的指针。

示例树的孩子兄弟表示法的存储结构：

三、扩展

由于树可以看成是一张无向图，在信奥赛中，涉及到树的题目时，常用邻接矩阵的形式存储树的结构，若树的结点数为n，则设立一个n*n的二维数组a，在数组a中，若a[i][j]的值为0则表示i结点不是j结点的双亲结点（没有边相连接）；若a[i][j]值为1则表示i号结点是j号结点的双亲结点（有边相连接），这样也能存储下来一颗树，但是在树的结点较多时，二维数组中存在大量的无效数据，空间浪费较多，此时应使用领接表的存储方式。