聚类算法及其评价

姓名：Jyx
描述：人工智能学习笔记

聚类

1. 聚类是一种非监督学习，聚类需要将一系列样本输入到聚类算法中，学习样本的内在结构。聚类往往不单独存在，而是作为一个大的监督学习算法的一部分存在
2. 聚类的原则。 类内散度最小，类间散度最大
3. 聚类的用途
   3.1 减少计算量。通过对样本分类，以分类标签代替原始向量，大大减少计算量
   3.2 识别离群点。
   3.3 可视化
4. 聚类的要素。特征选择，近邻测度，聚类准则，聚类算法，结果验证，结果判定

##近邻测度

1. 距离测度
   $$d(x,y)=||x-y|{|}_p^{\frac{1}{p}}$$
2. 余弦相似度
   $$d(x,y)=\frac{x^{T}y}{|x||y|}$$
3. 相关系数
   $$d(x,y)=\frac{cov(x,y)}{{\delta }_x{\delta }_y}$$
4. 杰卡德相似系数
   $$\begin{gathered} d(x,y)=\frac{{\sum }_{i=1}^{k-1}{a}_{ii}}{n_x+n_y-{\sum }_{i=1}^{k-1}{\sum }_{j=1}^{k-1}{a}_{ij}} \\ where{n}_x=\sum _{i=1}^{k-1}\sum _{j=0}^{k-1}{a}_{ij},n_y=\sum _{i=0}^{k-1}\sum _{j=1}^{k-1}{a}_{ij} \end{gathered}$$
   其中矩阵{aij}\{ a_{ij }\}{aij​}称为相依表（Contingency table）
   ##聚类算法
5. 分类
   1.1 基于距离的聚类算法
   1.2 基于密度的聚类算法
   1.3 基于连接的聚类算法
6. 基于距离的聚类算法
   2.1 KMeans
   对于一个k类问题，KMeans 的优化目标为
   $${\mathrm{argmin}}_C\sum _{i=1}^k\sum _{x\in C_i}(x-{\mu }_i{)}^2,u_i=\frac{1}{n_{C_i}}\sum _{x\in C_i}x$$
   这是一个组合优化问题，完全的求解几乎不可能。一般的的思路都是采用贪婪算法，求解局部最优，因此KMeans一般要使用随机初值多尝试几次

   算法描述

   1. 选择随机的聚类中心${\mu }_i$初始化算法
   2. 根据每个样本距离聚类中心的距离对每个样本进行分类,$x\in C_i,\underset{i}{\mathrm{argmin}}(x-u_i{)}^2$
   3. 利用分类好的聚类结果更新新的聚类中心$u_i=\frac{1}{n_{C_i}}{\sum }_{x\in C_i}x$
   4. 重复2,3步直$u_i$基本不变

2.2 层次聚类
层次聚类来源于生物学的生物分类，一级包含一级，形成一个层次聚类。层次算法并不存在一个优化目标。层次聚类有两种，一种是分裂，一种是聚合。分裂是自顶向下，聚合是自底向上
基本算法描述：

1 将每一个样本初始化一个类$C_i$
2 选取一对$C_{new}=C_i\cup C_j，\underset{i,j}{\mathrm{argmin}}d(C_i,C_j)$
3 删除原来的$ C_i , C_j$
4重复2,3直至只有一个类

这样就形成了一个分类树，然后根据某些知识和准则选取每一级作为最后的聚类结果
2.3 吸引力传播
2.4 DBSCAN