DP-最长公共子序列LCS、最长上升子序列LIS

小学期学的算法和做OJ题的各种经验总结

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最长公共子序列 LCS：

正着遍历，倒着构造

c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度
序列回溯，可以用栈。

//dp初始化为0
for(i=1;i<=lena;i++){
	for(j=1;j<=lenb;j++){
		if(a[i-1]==b[j-1]){
			dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
		}else{
			dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
		}
	}
}
printf("%d\n",dp[lena][lenb]);

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最长上升子序列 LIS

参考：https://blog.youkuaiyun.com/lxt_Lucia/article/details/81206439

DP: O(n²)

状态设计：F[i] 代表以 A[i] 结尾的 LIS 的长度

边界处理：F [ i ] = 1 (1 <= i <= n)

状态转移：遍历i之前的数中找到所有比A[i] 小的数的位置j，如果没有就是自身
$$F_i=\{\begin{array}{ll}\max (F_j+1),& j=1\cdots i-1且A_j<A_i\\ F_i（初始化时为1）,& 第一个式子没有满足的条件，\\ & 即\max (F_j+1)=1，则自己为序列开头\end{array}$$
综合起来就变成了
F i = max ⁡ { F j + 1 ,   F i   ∣   w h e r e   1 ≤ j ≤ i − 1   a n d   A j &lt; A i } F_i = \max\{F_j+1,\space F_i \ | \ where\ 1\le j \le i-1 \ and \ A_j \lt A_i\} Fi​=max{Fj​+1, Fi​ ∣ where 1≤j≤i−1 and Aj​<Ai​}
ans即为以每个数为结尾的最长子序列中最大的

代码

for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = 1;
	
for (int i = 1; i <= n; i++) 
	for (int j = 1; j < i; j++)
		if (a[j] < a[i])
			f[i] = max(f[i], f[j] + 1);

for (int i = 1; i <= n; i++)
	ans = max(ans, f[i]);

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贪心+二分O(nlogn)

low 数组，low_m 表示长度为m的LIS结尾元素的最小值（初始化为INF），对于每一个长度为m的LIS，一定是结尾元素越小越有潜力拼的更长。因此我们维护low数组，用len记录LIS当前的长度，对于每一个a_i ，

• 如果a_i > low_len 就拼到LIS里，即令low_++len=a_i
• 如果a_i < low_m（m是满足条件 low_k > a_i 的第一个位置） ，说明a_i作为长度为m的LIS的结尾元素更有潜力，就把a_i 跟low_m替换。
• 找满足条件的第一个位置可以利用二分搜索，
• 可以直接用STL函数lower_bound（默认小于比较）
  • 用法：lower_bound(first, last, k[, cmp]) 返回first到last中不满足*it<k或cmp(*it,k)的第一个位置（地址），默认情况下即返回数组中第一个大于k的数的地址;
  • int m = lower_bound(low+1, low+1+len, a[i]) - low;地址 - 地址 = 下标

代码：

int main() {
	int low[MAXN] = INF;//长度为m的LIS结尾元素的最小值
	int a[MAXN], n;
	//初始条件
	low[1] = a[i];
	int len=1;

	for (int i = 2; i <= n; i++){
		if(a[i]>low[len]) low[++len]=a[i];//拼入LIS
		else{
			//找到第一个大于a[i]的位置，更新成a[i]
			int m = lower_bound(low+1,low+1+n,a[i]) - low;
			low[m] = a[i];
		}
	}
	cout<<len;

	return 0;
}