最长公共子序列、最长上升子序列、最长公共上升子序列

1.最长公共子序列：

核心代码：

for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            if(a[i]==b[j])
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            }
            else
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
    }

hdu5248

2.求最长上升子序列

树状数组优化：$nlogn$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100005;
char a[maxn];
int len;
int bit[maxn],v[maxn],A[maxn],L[maxn];
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void add(int x,int d)
{
    for(int i=x;i<=len;i+=lowbit(i))
    {
        if(bit[i]<d)bit[i]=d;
    }
}
int ask(int x)
{
    int res=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
    {
        if(res<bit[i])res=bit[i];
    }
    return res;
}
int main()
{
    int t,n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&A[i]);
            v[i]=A[i];
        }
        len=unique(v+1,v+1+n)-v-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int x=lower_bound(v,v+len+1,A[i])-v;//
            int sum=ask(x-1)+1;//用树状数组查询比A[i]小的个数再加上1即是以A[i]结尾的最长上升序列
            L[i]=sum;          //询问的数在i之前插入。
            add(x,sum);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i!=1)printf(" ");
            printf("%d",L[i]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

以上代码可以用滚动数组进行空间优化

3.最长公共上升子序列：（O($N^3$）

解析：f[i][j]表示以b[j]结尾，字符串a[i]之前的公共上升子序列最大长度;
显然：$f[i][j]>=f[i-1][j];$
递推：若$a[i]!=b[j]：f[i][j]=f[i-1[j];$
若$a[i]==b[j]：f[i][j]=max$(f[k][j])+1;($1<=k$<=j-1&&$b[j]>b[k]$)
核心代码

 for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            if(a[i]!=b[j])f[i][j]=f[i-1][j];
            else
            {
                int mn=0;
                for(int k=1;k<j;k++)
                {
                    if(b[j]>b[k])
                    mn=max(mn,f[i-1][k]);
                }
                f[i][j]=mn+1;
                ans=max(f[i][j],ans);
            }
        }
    }

4.最长公共上升子序列：（O(N^2)）

核心代码：
优化：通过记录对于当前a[i]与b[1-m]的匹配过程中的最大上升子序列mm，边记录，边更新，降低一维

for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int mm=0;
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            if(a[i]>b[j])mm=max(mm,f1[j]);//优化
            else if(a[i]==b[j])
                f1[j]=mm+1,ans2=max(ans2,f1[j]);
        }
    }

测试源程序：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    char a[100];
    char b[100];
    a[0]='0';b[0]='0';
    int dp[105][105];
    int f[105][105];
    int f1[105];
    memset(dp,0,sizeof dp);
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    int n=strlen(a);
    int m=strlen(b);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            if(a[i]==b[j])
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            }
            else
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    memset(f,0,sizeof f);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            if(a[i]!=b[j])f[i][j]=f[i-1][j];
            else
            {
                int mn=0;
                for(int k=1;k<j;k++)
                {
                    if(b[j]>b[k])
                    mn=max(mn,f[i-1][k]);
                }
                f[i][j]=mn+1;
                ans=max(f[i][j],ans);
            }
        }
    }
    memset(f1,0,sizeof f1);
    int ans2=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int mm=0;
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            if(a[i]>b[j])mm=max(mm,f1[j]);
            else if(a[i]==b[j])
                f1[j]=mm+1,ans2=max(ans2,f1[j]);
        }
    }
    cout<<"最长上升子序列："<<dp[n-1][m-1]<<endl;
    cout<<"最长公共上升子序列n*n*n："<<ans<<endl;
    cout<<"最长公共上升子序列n*n："<<ans2<<endl;
    return 0;
}