number theory 基础数论

一个算法，输入为整数 $a_1, a_2, ...$ 被称为 polynomial-time algorithm 如果它的时间复杂度为 $\lg{a_1}, \lg{1_2},...$的多项式，也就是说， polynomial in the lengths of its binary encoded inputs。意思就是和 二进制编码 的长度 ，为多项式关系。

我们把 乘，除，mod，看作 one unit of time. 当输入非常大的时候，这些操作也会变的 更加费时，因此应该计算一个算法需要多少 bit operations

将两个$\beta$长度的数相乘，需要 $\theta({\beta^2})$

Divisibility and divisors

d | a ：d divides a, 当 a = kd，k是整数，也说a是d的 multiple

Prime and composite numbers

质数／素数：质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数称为质数。

Theorem (Division theorem)
对于任意整数a和正整数n，存在唯一的整数 q 和 r, such that $0\le r < n$ 并且 a = qn + r 。
也就是说 对于每个数，都是 两个数的乘积 加上一个数

因此我们可以把整数分为 n 类，根据它的余数。

Common divisors and greatest common divisors

公约数和最大公约数

Relatively prime integers

整数a和b互质，如果它们公约数只有 1

Unique factorization

最大公约数

Euclid’s 算法基于以下定理

证明通过证明 两个数互相整除，得到两个数相等。

Euclid’s algorithm

算法的时间复杂度。

用数学归纳法证明

Modular arithmetic

一个集合和一个操作定义了一个 group 它满足 自闭，存在一个 identity， 结合性，存在逆（类似于 域 的概念）

如果它还附和 交换律 那么称为 abelian group

The groups defined by modular addition and multiplication

用 x mod n代替原来的x