理解四元组 Understanding Quaternions

翻译自 https://www.3dgep.com/understanding-quaternions/

四元组

Transformation matrices

在三维空间中，任何一个坐标系可以有一个4*4的转换矩阵表示，其中左上角3*3的矩阵表示旋转矩阵，第四列前三个表示x,y,z坐标。
类似的，任何一个变换也可以表示为这样一个变换矩阵。

复数

不做过多解释
$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$
$z = a + bi \,a,b\in R, i^2=-1$
基本上来说，复数的加减乘除符合常见实数里的做法，可以将$i$作为一个变量看，将$i^2$作为-1

复平面的旋转

$q = cos \theta + i sin\theta$

四元组

四元组最普通的表示形式为：
$q = s + xi + yj + zk \ s,x,y,z\in R$

也可以写为有序组

单位四元组

对于一个任意的向量，我们可以用它的长度，它的方向来表示它

同样，我们可以这样表示一个纯四元组

我们也可以将一个零标量，单位向量表示为单位四元组

Binary Form of a Quaternion

现在，我们可以使用类似复数的形式表示四元组，一个标量加上一个向量，其中向量是一个单位向量与长度的积。

一些运算

旋转

类似与向量的旋转，我们也可以用一个四元组表示四元组的旋转
$q = \left[ cos\theta, sin\theta \textbf{v}\right]$

四元组插值

SLERP

SQAD