二分图的匹配

最新推荐文章于 2022-12-09 21:01:06 发布

_Shmily

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分类专栏：图论基本算法网络流基本算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zhaoxinxin1234/article/details/89854750

本文介绍了二分图的判定及其最大匹配的概念，包括增广路算法和匈牙利算法，探讨了最大匹配的性质和求解方法，重点阐述了二分图带权最大匹配的KM算法，包括交错树、顶标和相等子图的概念。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、二分图的判定：
如果一张图的N个节点可以分成A，B两个非空集合，其中A∩B＝空集，并且在同一集合内的点之间都没有边相连，那么称这张无向图为一张二分图。A，B分别称为二分图的左部和右部。
定理： 一张无向图是二分图，当且仅当图中不存在奇环（长度为奇数的环）。

根据该定理，我们可以用染色法进行二分图的判定。大致思想为：尝试用黑白两种颜色标记图中的节点，当一个节点被标记后，它的所有相邻节点应该被标记与它相反的颜色。若标记过程中有冲突，则说明图中存在奇环。二分图染色一般基于深度优先遍历实现，时间复杂度为O（N±M）。

hihoCoder1121 二分图的判定：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=40010;
const int _max=10010;
int head[_max], ver[maxn*2],nt[maxn*2];
int tot;
int ha[_max];
void add(int x,int y)
{
   
   
    ver[++tot]=y;nt[tot]=head[x];head[x]=tot;
}

bool dfs(int x,int cnt)
{
   
   
    ha[x]=cnt;
    for(int i=head[x];i;i=nt[i])
    {
   
   
        int y=ver[i];
        if(ha[y]==cnt) return false;
        else if(ha[y]==0&&dfs(y,-cnt)==false) return false;
    }
    return true;
}

int main(void)
{
   
   
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
   
   
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(ha,0,sizeof(ha));
        tot=0;
        int x,y;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
   
   
            scanf("%d%d",&x,&y);
            add(x,y);
            add(y,x);
        }
        bool flag=true;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
   
   
            if(ha[i]==0)
                if(dfs(i,1)==false)
            {
   
   
                flag=false;
                break;
            }
        }
        if(flag) printf("Correct\n");
        else printf("Wrong\n");
    }
    return 0;
}

二、二分图最大匹配：

任意两条边都没有公共端点的边的集合被称为图的一组匹配。在二分图中，包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配。

对于任意一组匹配S（S是一个边集），属于S的边被称为匹配边，不属于S的边被称为非匹配边。
匹配边的端点被称为匹配点，其他节点被称为非匹配点。
如果在二分图中存在一条连接两个非匹配点的路径path，使得非匹配边与匹配边在path上交替出现，那么称path是匹配S的增广路，也称交错路。

增广路显然具有以下性质：
（1）长度len是奇数。
（2）路径上第1，3，5……len条边是非匹配边，第2，4，6，……len-1条边是匹配边。

正因为以上性质，如果我们把路径上所有边的状态取反，原来的匹配边变成非匹配的，原来的非匹配边变成匹配的，那么得到的新边集SS仍然是一组匹配，并且匹配边数增加了1。进一步可以得到推论：
二分图的一组匹配S是最大匹配，当且仅当图中不存在S的增广路。

匈牙利算法（增广路算法）：
匈牙利算法，又称增广路算法，用于计算二分图的最大匹配。它的主要过程为：
（1）设S为空集，即所有边都是非匹配边。
（2）寻找增广路path，把路径上所有边的匹配状态取反，得到一个更大的匹配SS。
（3）重复第二步，直至图中不存在增广路。

该算法的关键在于如何找到一条增广路。匈牙利算法依次尝试给每一个左部节点x寻找一个匹配的右部节点y。右部点y能与左部点x匹配，需要满足以下两个条件之一：
（1）y本身就是非匹配点。
此时无向边（x，y）本身就是非匹配边，自己构成一条长度为1的增广路。
（2）y已经与左部点xx匹配，但是从xx出发能找到另一个右部点yy与之匹配。
此时路径x–y--xx–yy为一条增广路。

在实际的程序实现中，我们采用深度优先搜索的框架，递归地从x出发寻找增广路。若找到，则在深搜回溯时，正好把路径上的匹配状态取反。另外，可以用全局bool数组标记节点的访问情况，避免重复搜索。
在这里插入图片描述

匈牙利算法的正确性基于贪心策略，它的一个重要特点时：当一个节点称为匹配点后，至多因为找到增广路而更换匹配对象，但是绝对不会再变回非匹配点。
对于每个左部节点，寻找增广路最多遍历整张二分图一次。因此，该算法的时间复杂度为O（NM）。

bool dfs(int x)
{
   
   
    for(int i=head[x],y;i;i=nt[i])
    {
   
   
        if(!visit[y=ver[i]])
        {
   
   
            visit[y]=1;
            if(!match[y]||dfs(match[y]))
            {
   
   
                match[y]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

for(int i=1;i<=n;i++)
{
   
   
    memset(visit