二分图与二分图匹配

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分类专栏： 算法 # 图论 文章标签： 图论 算法
于 2022-12-09 21:01:06 首次发布
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本文详细介绍了二分图的概念、判断方法以及二分图匹配的匈牙利算法，探讨了二分图在实际问题中的应用，如解决P3386和P4251等题目，并讨论了通过最大流算法实现更高效的匹配方法。

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文章目录

二分图匹配

一、前置芝士

  • 图论
  • 二分图（下面会讲）

二、二分图

定义

设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)是一个无向图，如果顶点 V V V可分割为两个互不相交的子集 ( A , B ) (A,B) (A,B)，并且图中的每条边 ( i , j ) (i,j) (i,j)所关联的两个顶点 i i i和 j j j分别属于这两个不同的顶点集，则称图 G G G为一个二分图。学过高中数学的
话应该能看懂我在说什么逃

更简单的定义

顶点集 V V V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。满足这样的图就叫二分图。

还是看不懂？？？来一张图
请添加图片描述
图中有两个点集，点集A、B相互连边，内部不连边的图即为二分图。

二分图的判定

考虑黑白染色 （不懂的可以问度娘），如果能染色即为二分图

三、二分图匹配

匈牙利算法

本质：反悔贪心
枚举子集A中还没有匹配的点，设此点为 u i u_i ui​，将它连向的点设为 v i v_i vi​，看 是否已经和某一个 u j u_j uj​匹配。

  • 若不是，则：直接将 u i u_i ui​和 v i v_i v
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算法讲解：二分图匹配
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二分图匹配，自然要先从定义入手，那么二分图是什么呢？ 二分图： 二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。 简单的说，一个图被分成了两部分，相同的部分没有边，那这个图就是二分图，二
二分图匹配详解
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二分图判定和二分图最大匹配
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二分图是一种特殊的无向图，它的节点可以被划分为两个互不相交的集合，使得同一集合中的任意两个节点之间没有边相连，而不同集合中的节点之间都有边相连。换句话说，如果一个无向图可以被划分为两个集合，并且所有边的两个端点都分别属于不同的集合，那么这个无向图就是一个二分图。如图，有蓝色，绿色两个集合，集合内的点可以跟另一个集合内的点相互连接，但集合内部不能连接，这就叫二分图。那么如何判定是否为二分图呢？这就要用到二分图的染色。
简单二分图判定与最大匹配算法
wanglianda2007的博客
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二分图基础。
二分图与匹配问题
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一、二分图的定义 给定图G=(V,E)。如果顶点集V可分为两个互不相交的非空子集X和Y，并且图中的每条边（i，j）的两个端点i和j分别属于这两个不同的顶点子集，那么就称图G为一个二分图，记为G=(X,E,Y)。如果在子集X中的任一顶点i和子集Y中的任一顶点j之间都存在一条边,那么就称图G为一个完全二分图。如下图所示： 在网络科学研究中，二分图也称为二分网络、从属网络和二模网络。 二、二分图的判断方法 在网络中任意选取一点，把该节点以及与该节点距离为偶数的所有其他节点的集合记为X，把与该节点的距离为奇数的节
二分图及最大匹配
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09-08 399
if(match[v]==0 || dfs(match[v])) //v还未被匹配或者给v换一个对象能够成功。* v的对象match[v],看他是否有其他中意的人，让他去找其他人，如果能找到，那就让。if(hs[v]==0 && G[u][v]==1) //v还未被访问。行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v。* match[v]和他中意的那个人，而v就从现任变为前任，转而让u和v在一起；行，每行包含两个整数 u 和 v，表示点 u 和点 v。
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qq_45832461的博客
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欢迎大家访问博客：博客传送门 参考 夜深人静学算法 大佬 二分图最大匹配的应用 对于二分图最大匹配来说，更重要的是对一些实质问题的转化，比如通过求解二分图最大匹配，我们可以得到一个二分图的最小顶点覆盖，最小边覆盖，最大独立集、最大完全子图、最小路径覆盖 等等。 引理： 在二分图最大匹配中，每条匹配边连接的两个顶点(u,v)(u,v)(u,v)最多只有一个与非匹配点有连边。 证明： 假设存在一条匹配边连接的两个顶点(u,v)(u,v)(u,v)，分别存在非匹配边(u,x)(u,x)(u,x)和(v,y)(v
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本文介绍了图论中常见的DFS和BFS搜索算法及其应用，重点讲解了岛屿问题的多种变体及解法。主要内容包括：1）孤岛面积计算，通过边界DFS消除非孤岛后统计剩余陆地；2）沉没孤岛问题，标记非孤岛后输出；3）水流问题，采用逆向双边界搜索；4）最大岛屿建造，通过编号和面积映射优化计算；5）岛屿周长统计，通过边界判断实现；6）字符串接龙问题，使用BFS构建转换图；7）有向图连通性检查。文章提供了详细的算法思路和C++代码实现，涵盖了图论搜索的典型应用场景。
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