巴什博弈

最新推荐文章于 2025-02-02 17:15:25 发布

_Shmily

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分类专栏：博弈论基本算法

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巴什博弈是一种两人轮流取物的游戏，涉及数学策略和胜负判断。当物品总数n除以(m+1)的余数不为0时，先手玩家获胜；否则，后手玩家获胜。例如，在特定的数字写法规则中，通过计算(r = (n-1) % (k+1))可以判断先手或后手赢得比赛。在不同情境的博弈中，如在n*m矩阵的移动游戏或有取物限制的石子游戏中，也存在类似的胜负规律。

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一、巴什博弈：
巴什博弈：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
$if(n%(m+1)!=0)先手赢if(n\%(m+1)!=0) 先手赢$
$e l s e 后手赢$

二、例题：
1。Tang和Jiang轮流写数字，Tang先写，每次写的数x满足1≤x≤k，Jiang每次写的数y满足
$1 \leq y - x \leq k$ ，谁先写到不小于n的数就算输。
$r=（n−1）%（k+1）r=（n-1）\%（k+1）$
$r = 0 时 J i a n g 胜$
$Tang胜else\space Tang 胜$

2。在一个n*m的矩阵中，起始位置是（1，m），走到终止位置（n，1）。游戏规则是只能向左，下，左下方移动一步，先走到终点者获胜。

若n与m均为奇数，则先手必败。

3。初始状态下有n个石子，除最后一次外其他每次取物品个数必须在[p,q]之间，最后一次取的人输。
若 $n = k * （ p + q ）$ 。先手第一次取 $q$ 个，随后的回合若后手取 $x$ 个，先手再取 $p + q - x$ 个，那么最后就会留给后手 $p$ 个，先手胜。
若 $n = k * （ p + q ） + s$ 。
若 $s \in [1, p]$ ，先手取 $x$ 个，后手取 $p + q - x$ 个，最后留给先手 $s$ 个，后手胜。
若 $s \in （ p ， p + q ）$ ，先手任取 $x$ 个 $1 \leq s - x ＜ p$ ，后手取 $y$ 个，先手可以再取 $p + q - y$ 个，最后留给后手 $s - x$ 个，先手胜。