能计算运动方程的模拟计算机

能计算运动方程的模拟计算机
下面介绍一种可以计算出速度，加速度和功率，位移之间关系的运动方程模拟计算机。用加法器乘法器，积分电路，导数电路按照运动方程的公式进行构造电路，就会计算出位移和功率之间的关系。
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运动方程模拟计算机
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第一部分

推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版
3.22二阶导数及其力学意义
注：二阶导数就是一阶导数的导数，它在几何上有其重要意义。简单的说，二阶导数的正负表示一阶导函数的增减性，也就是表示函数的凹凸方向。
sint
例如，求函数y=e 的二阶导数, 我们先求其一阶导数：

  sint      sint         sint                     

f(t)=(e )=e (sint)=e cost 再对所得一阶导函数求导数，则得二阶导数，故 sint sint sint f``(t)=(e cost)=e (cost)+cost(e )

  sint             sint                        

=e (-sint)+cost*e (sint)`

  sint             sint           sint      2

=e (-sint)+cost*e cost =e (cos t-sint)

        2     2     sint                 

或者 d y/dt =e (cos t-sint)
二阶导数在力学上具有明显的意义; 我们来考虑一下物体依S=f(t)作运动时的情形。在3-7、2内我们已经知道，在3-7、2内我们已经知道，其运动速度的值定义为路程对时间的导数，即, v=S 或or v=dS/dt, 如果物体的运动是非等速的，那么，速度v就在各个时刻皆不相同，且在时间间隔△t内必得一速度的增量△v, 在这种情况下，在单位时间内速度的变化△v/△t就叫由t到t+△t时间内的平均加速度，而在给定的时刻t时的加速度将等于，, 当△t→0时，平均加速度的极限，把给定时刻的加速度记作j,就可写成： △v j= lim =v
△t→0 △t t

或 dv 但v =(S )`=S``,
j= t t
dt
2
或 dv (ds) d S
=
dt dt 2
dt

                        2
                      d   s      

所以,j=(S )=S``,也就是 j=
t 2
dt
于是，物体在给定时刻的运动加速度等于路程对时间的二阶导数。
例1.设点依规律S=2t -3t+5作抛物线运动，试求点在时刻t=5时的速度与加速度。为了确定速度，必须求出给定函数在t=5时的一阶导数，于是:
2
v=S=(2t -3t+5)=4t-3
并且 v =4*5-3=17
t=5

加速度j等于当t=5时函数的二阶导数，即, j=S``=(v)=(4t-30)=4,
2
d s
或or =4
2
dt
这样看来加速度对任何t值都是常量，这就是说点依给定的规律作等加速运动。

第二部分
推导过程可参见1992年版《物理学》，李廼伯主编，高等教育出版社出版
运动学方程
如果图1-1中的质点P在运动，那么，它的位置矢量r将随时间变化，也就是说，位置矢量r是时间t的函数。
r=r(t) 1-2a
位置矢量r随时间t变化的函数式称为质点的运动学方程。很明显，这时，质点的坐标x、y和z也是时间t的函数：
x=x(t)
y=y(t) } 1-2b
z=z(t)
上式称为质点运动学方程的直角坐标分量形式。它表示，质点在空间的运动r`=r(t)可以看作是质点在x\y和z轴上同时参与三个直线运动x=x(t),y=y(t)和z=z(t)。式1-2b中的三个直线运动称为式1-2a所表示的质点运动在三个坐标轴上的分运动，中学物理曾讨论过质点作匀加速直线运动，它的运动学方程为
2
x=x +v t+at /2
0 0
式中，a是质点的加速度，v 是质点初始时刻(t=0)的速度，称为初速度，
0
x 是初始时刻质点位置的坐标，还讨论过质点作平抛运动，它的运动学方程为
0

x=v t
0 }
2
y=H-gt /2

式中，v 是质点水平抛出的初速度，H是初始时刻质点矩原点的高度，g是重力加速度，
0
负号表示加速度g的方向与y轴的正方向相反。上述讨论表明，质点的曲线运动可以用直角坐标系分解为两个（平面上质点的运动）或三个（空间中质点的运动）直线运动。由此可见，直线运动是分析曲线运动的基础。
例1-1.湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过水面高H的滑轮拉船靠岸，如图1-2，设绳的原长为l ，人以匀速v 拉绳。试写出小船的运动学方程。
0 0

解.建立如图所示的坐标轴OX，按题意，初始时刻(t=0)，滑轮至小船的绳长是l 。
0
此后某时刻t，绳长减少到l -v t, 此刻船的位置坐标是
0 0
2
x= (l -v t) -H
0 0
上式是小船的运动学方程。它指出小船位置x随时间t变化的规律。
1-2位移，路程
位移.质点从位置A沿一曲线移动到位置B，如图1-3所示，用从A指向B的矢量△r表示质点位置的移动。把△r称为这段时间内的位移。位移是描述一段时间内质点位置变更的物理量。它同时指出质点位置变更的距离和方向。它只和始、末两位置有关，与轨道曲线无关。从A到B的位移等于质点在B（末位置）的位置矢量r 和质点在A（初位置）的位置
B
矢量r 之差
A
△r=r -r 1-3a
B A
在直角坐标系中，位移
△r=△xi+△yj 1-3b
式中
△x=x -x
B A }
△y=y -y
B A
是同一段时间内质点坐标的增量。路程.图1-3中，质点从A到B走过的路程是质点沿轨道曲线从A到B经历的长度。路程是恒为正值的标量。
随着时间增加，路程跟着增加。即路程是正的增函数。通常，用符号△s或s表示路程。

无穷小位移
图1-4a画出某质点所经历的一段轨道的曲线。
t 、t 、t 、t 各时刻质点分别位于A、C、D、B各点。
1 2 3
t～t 、t ～t 、t ～t 三段时间内质点的位移分别是△r 、△r 、△r
1 1 2 2 3 1 2 3
由图可知，t～t 时间内的位移
3
△r=△r +△r +△r 1-4
1 2 3
上式指出，总位移等于各分段位移矢量和。
如果把t～t 这一段时间细分为无穷多段时间间隔，就得到无穷多个无穷小位移。
3
用符号dr表示无穷小位移.它的大小是无穷小量，它的方向是沿轨道的切线指向质点前进的方向。如图1-4b所示，从图中还可以看出，这些无穷小位移的矢量和仍然是△r。在dt时间内的位移dr是无穷小矢量，对应的路程是无穷小标量。用符号ds表示无穷小路程，图1-4b表明
│dr│=ds 1-5
上式指出，在无穷小时间内，位移的大小│dr│等于对应的路程ds.
1-3.速度，速率
平均速度和平均速率
图1-5中，设t时刻，质点在A处，t+△t时刻运动到B点。△t时间内，从A到B质点的位移是△r，经历的路程是△s. 当△r一定时，如果△t越小，质点从A到B的变化越快；如果△t较大，则从A到B的变化较慢。为了描述△t时间内单位时间位置的变化，引入平均速度的概念。把△r与△t之比称为△t时间内质点的平均速度，用符号v表示,
v =△r/△t 1-6
如果质点作变速圆周运动，除了上述法向加速度外，还应有描述质点速率变化的加速度。可以证明，这个加速度是沿切线方向，即在切线坐标轴上：其大小等于质点速率v对时间t的导数dv/dt, 称为切向加速度，用符号a 表示
x
a =dv/dt
x
法向加速度描述质点的速度方向的时间变化率；切向加速度描述质点的速度大小对时间的变化率。法向加速度a 和切向加速度a 互相垂直，它们是加速度a的两个分量。
n r
它们是加速度a的两个分量。用它们可求得加速度a的大小

        2   2                       

a= a +a 1-17a
n r
和方向（用c与速度v之间的夹角φ表示）
tgφ=a /a 1-17b
n r
质点作一般曲线运动时，速度的大小在变化，方向也在变化，其加速度a也可分解为切向加速度a 和法向加速度a .
n r
注：对一般曲线运动，式（1-16a）中的R为曲线在该点的曲率半径。质点作直线运动时，速度的方向没有侧向变化，因而没有法向加速度，或者说，其法向加速度等于零。

例1-3.已知质点的运动学方程是
2 3
x=A+Bt+Ct +Dt
其中A、B、C、D是有不同量纲的常量，t是时间，求它的速度和加速度, 解.此质点是在直线OX上运动，它的速度:
2
v =dx/dt=B+2Ct+3Dt
x
再求导数，可得加速度
a =dv /dt=2C+6Dt
x x
上式表明，该质点作变加速直线运动。
例1-3a.已知质点的运动学方程是

      2    3   4                

x=A+Bt+Ct +Dt +Et
其中A、B、C、D、E是有不同量纲的常量，t是时间，求它的速度和加速度,
解.此质点是在直线OX上运动，它的速度
2 3
v =dx/dt=B+2Ct+3Dt +4Et
x
再求导数，可得加速度
a =dv /dt=2C+6Dt+12Et
x x
上式表明，该质点作抛物线性变加速直线运动。即，该物体运动时的加速度按抛物线的形状变化. 质点运动时的功率是W，运动时所受的力是F, 质点的质量是m,运动时的功率是P, 所以,
W =F x , F =ma , P =W dt
x x x x x x

W =ma x=ma * v dt =ma * a dt
x x x x x x

P =W dt=ma * a dt=ma *v
x x x x x x

              2            2      3                                          

=m*(2C+6Dt+12Et )(B+2Ct+3Dt +4Et )

P dt=m*(a dt*v +a *v dt)
x x x x x

P dt
x
=a dt*v +a *v dt
m x x x x

P dt
x 2
= [(v dt)dt]*v +(v dt)
m x x x

           2         

P dt dv dv
x 2
=v +( )
m 2
d t dt
设v=y,y=dv/dt, P dt x =k m 把上面的方程化为下面的微分方程 2 yy``+y =k
解.设y`=p(y),则y``=p(dp/dy), 代入原方程得
2
y*p(dp/dy)+p =k

p[y(dp/dy)+p]=k
在y≠0,p≠0时，分离变量，得
y(dp/dy)+p=k/p,
dp/dy=[k/p-p]/y,
dy dp
=
y k/p-p

          2

y k-p
=
dy p*dp
两边同时积分，得

dy p*dp
=
y 2
k-p

                 2

dy 1 dp
=
y 2 2
k-p
因为

dx/(a+bx)=ln│a+bx│/b+C
所以
2
lny=-ln│k-p │/2+C
1
所以 2
-C x
2 2
2lny=-lnk+C +C x +lnC 或y=C k*e /2
1 2 3 3
因为v=y,
P dt
x
=k
m
所以, 2
P dt -C x
x 2
v =C *e
x 3 2m
2
P dt -C x
x 2
x= v dt= [C *e ]dt
3 2m
这样就得到一个功率P和位移x的关系式，利用这个关系式可以根据功率计算位移。
注：解法2
因为，

      dx/(a+bx)=ln│a+bx│/b+C

所以
2
lny=-ln│k-p │/2+C
1
所以 2
-C k
2 2
2lny=-C k +C +lnC 或y=C *e
2 1 3 3
因为v=y,

P dt
x
=k
m
所以
P dt
x 2
-C ( ) P dt
2 m x 2
v =C e +C ( )
x 3 3 m
这样根据瞬时功率就可求出质点在t时间内运动的位移x
推导过程参见《高等数学》，北京大学出版社2005年出版，林益，李伶主编
例18，求解微分方程
2
yy``-y =0
解.设y`=p(v),则y``=p(dp/dy), 代入原方程得
2
yp(dp/dy)-p =0
p[y(dp/dy)-p]=0
在y≠0,p≠时，分离变量，得
dp/p=dy/y，p=ydp/dy，dy=ydp/p，设dp/dy=C
1
p=C y
1

设dp/dy=C ，y=C y 1 1 再分离变量并积分，得方程的通解为 ln│y│=ln│y│+C
所以，
C x
1
lny=C x+lnC 或y=C e
1 2 2
若p=0,则y=C(C为任意常数), 因此原方程解可统一表为

                   C   x    
                     1   

y=C e
2

第三部分
例1.有一物体在空中运动，在t -t 时间作匀加速直线运动
0 1
此时，它在x轴的位移是x ,瞬时速度是v ，瞬时加速度是a
1 tx1 tx1
此时，它在y轴的位移是0 ,瞬时速度是0 ，瞬时加速度0
在t -t 时间作平抛运动,
1 2
此时，它沿x轴的位移是x ,瞬时速度是v ，瞬时加速度是a
2 tx2 tx2

此时，它沿y轴的位移是y ,瞬时速度是v ，瞬时加速度是a
2 ty2 ty2
在t -t 时间作变加速直线运动,
2 3

<