[NOI2018] 归程

传送门

题目大意

给定一张无向图，每条边有一个海拔 $a$，每次询问一个 $v$ 和 $p$ 表示起点和水位。可以从起点开始先花费 $0$ 到达任意点，条件是不经过 $a\le p$ 的边。如果必须要经过这样的边，那么在进入这条边的端点开始，经过每条边的花费就是其长度。求 $v\to 1$ 的最小花费是多少。

Solution

题意非常神必，还强制在线。

不过有一个很直观的想法就是做最大生成树。现在我介绍一下最大生成树的思路：

首先跑最大生成树，然后以每次询问可以分成两种情况：

• 水位没有超过 $v\to 1$ 路径上的最小值，那么可以直接到达，输出 0 即可；
• 水位超过了 $v\to 1$ 路径上的最小值，此时我们需要知道一个点 $u$，表示从 $v$ 到 $1$ 路径上最后一个可以 $0$ 费到达的点，也就是说 $edge:u\to f{a}_u$ 这条边的 $a$ 是前面所有经过的边中第一个小于等于 $p$ 的。那换句话说，我们可以 $0$ 费到达 $u$ 的子树中的任意一点。那很显然答案就是所有在 $u$ 的子树中的点到 $1$ 的最短路的最小值。

---

现在我们考虑解决上面提到的若干需求。

求路径最小值

这个很简单，做一下