CF1542C Strange Function

Before all

唉又没有时间打 CF，只好事后自己做了。。。

题目大意

定义一个函数 $f(i)$ 表示不为 $i$ 的因子的最小正整数，比如 $f(1)=2,f(2)=3,f(4)=3$。现给出一个 $n(n\le 10^{16})$，求 ${\sum }_{i=1}^{n}f(i)$ 的值 $\mathrm{mod}10^9+7$。

Solution

从简单开始思考，显然，所有的奇数的 $f(i)$ 都是 $2$。所以我们来考虑偶数。

偶数必然有因子 $1,2$，所以我们暂且认为偶数的 $f(i)=3$。为了接下来分析方便起见，我将偶数及其函数值打成一张表：

$i$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$	$\dots$
$f(i)$	$3$	$3$	$4$	$3$	$3$	$5$	$3$	$3$	$4$	$\dots$

不难看出，每 $6$ 个会出现一个 $4$，每 $12$ 个会出现一个 $5$……

那么这个 $6$ 和 $12$ 是哪里来的呢？

我们不妨把 $f(i)=3$ 的偶数表示为 $2$，除此以外的因子都比 $3$ 大的形式。那么 $6$ 就是 $2\times 3$，除此以外因子都比 $4$ 大……

所以，我们可以先打表来算这个每一个 $f(i)$ 的出现周期。我们需要保证这个值是包含因子 $1,2,\dots ,[f(i)-1]$ 的最小值，设 $f(i)-1$ 的周期为 $s$，那么这个值只需要在 $s$ 的基础上使得它能够被 $f(i)-1$ 整除，所以就是 $f(i)-1$ 和 $s$ 的最小公倍数。

最后统计答案的时候，遍历每个 $f(i)$ 的周期，由于我们是逐一考虑 $f(i)$ 的，所以每次只要加上 $\lfloor \frac{n}{s}\rfloor$ 即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf (1<<30)
#define INF (1ll<<60)
using namespace std;
const ll MAXN=1e16;
const ll MOD=1e9+7;
ll top[110];
void solve(){
	ll n;
	scanf("%lld",&n);
	ll ans=n*2%MOD;//加上奇数的值，并先把偶数的 3 加上 2
	ans=(ans+n/2)%MOD;//先钦定所有偶数都是 3，由于上一行中已经加了 2，所以这里每个偶数只要 +1
	for(int i=4;top[i]<=n;i++){
		ans=(ans+n/top[i])%MOD;
		//同理，我已经加了小 1 的值，所以这里每次只需要增加 1 就行
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
ll gcd(ll x,ll y){return x%y==0?y:gcd(y,x%y);}
int main()
{
	for(ll i=4,cur=2;cur<=MAXN;i++){
		ll g=gcd(i-1,cur);
		cur=cur*(i-1)/g;
		top[i]=cur;
	}//打表，top[i] 表示 f(x)=i 的周期
	int T;
	for(scanf("%d",&T);T--;)
		solve();
	return 0;
}
/*

*/