Codeforces Round #729 (Div. 2) C. Strange Function

高精度计算与因数贡献

最新推荐文章于 2023-01-24 01:31:17 发布

原创最新推荐文章于 2023-01-24 01:31:17 发布 · 240 阅读

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该博客讨论了一道编程竞赛题目，涉及高精度计算和因数贡献的概念。作者指出，由于数据范围巨大，需要计算每个数i对其前n个正整数总和的贡献，其中贡献值为不是i因子的最小正整数。通过分析，发现最大贡献值来自44，然后给出了计算每个i贡献的公式，并提供了相应的C++代码实现。解题过程中运用了容斥原理和最小公倍数的知识，最终得出答案。

题目链接

题目大意：

定义一个函数f(i)表示不是i的因数的最小正整数值
例：
𝑓(1)=2 𝑓(2)=3 𝑓(3)=2 𝑓(4)=3
给你一个正整数n让你求 𝑓(1)+𝑓(2)+⋯+𝑓(𝑛) modulo 109+7
1<=n<=1e16

解题思路：

看数据n的范围这么大，可以判断出这是一道算贡献的题目。
通过分析我们知道，如果f(x) = i，那么x的因子一定包含1,2,…,i-1的最小公倍数，通过打表可知，i的最大值是44，使用我们只需要算出i从2到44的贡献即可。
通过上述分析，对于i贡献了多少个数，这些数的特点是，这些数的因子包含1,2,…,i-1的最小公倍数且不包含i这个因子，因子包含1,2,…,i-1的最小公倍数的数的个数为n/lcm(1,2,…,i-1)，这些数中部包含因子i的个数为n/lcm(1,2,…,i)，通过简单的容斥，i的贡献为上述两数之差再乘以i即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define qc ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);cout.tie(0)
#define fi first
#define se second
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<ll, ll>
#define pb push_back
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll mod = 1e9 + 7;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
const ll N = 1e16;
ll gcd(ll a, ll b){
	return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

void solve(){
	ll n;
	cin >> n;
	ll ans = 0;
	ll g = 1;
	ll mul = 1;
	int cnt ;
	for(ll i = 2; i <= 44 && g <= n; i++){
		ans += (n / g - n / (g*i/gcd(g, i))) * i % mod;
		ans %= mod;
		g = g * i / gcd(g, i);
	}
	cout << ans << endl;
}

int main()
{
	#ifdef ONLINE_JUDGE
    #else
       freopen("in.txt", "r", stdin);
       freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif

	qc;
    int T;
    cin >> T;
    // T = 1;
    while(T--){
        solve();
    }
	return 0;
}