Codeforces Round #691 (Div. 2) A~C题解

A-Red-Blue Shuffle

水题，速切。
比一比红比蓝大的个数和蓝比红大的个数，大的那个概率大。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 1<<30
using namespace std;
char r[1010],b[1010];
int main()
{
	int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		scanf("%s%s",r,b);
		int cntr=0,cntb=0;
		for(int i=0;i<n;i++){
			if(r[i]>b[i]) cntr++;
			else if(r[i]<b[i]) cntb++;
		}
		if(cntr>cntb) puts("RED");
		else if(cntr<cntb) puts("BLUE");
		else puts("EQUAL");
	}
}

B-Move and Turn

应当面壁思过，考场上为什么卡了那么久，捶了dfs还找不出规律。
这里说明一下，本题我不是找规律过的，是真的想出了做法。

先考虑一个问题，我第一步确定之后，之后沿x轴走和沿y轴走的步数是固定的。
于是我就先考虑点在横坐标上的移动，每一步相当于是+1或者-1，也就是说给定了步数(比如说a步)，每一步可以+1或者-1，求最终可以到达的数是多少，很容易可以发现，最左到达a，最右是-a。把每个+1换成-1会使最终的点向左移动2格，因此最终能到达的不同格子是：
$$(a-(-a))/2+1=a+1$$
因此，对于确定的步数，可以得出在x轴上的不同终点数。同理y轴也可以同样的方法得出。

于是，如果第一步确定之后，就可以将两个轴上的终点个数一乘，就是平面中终点的个数了。

所以枚举第一步是沿x轴走还是y轴走。

最终答案时，如果n为奇数，那么先向x轴还是y轴是有区别的，此时恰好将两种答案错开。如果n为偶数，则哪个先走无所谓，所以答案会重合，要除以2。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 1<<30
using namespace std;
ll getit(int x,int y){
	ll xt,yt;
	xt=x+1;yt=y+1;
	return xt*yt;
}//在x轴上走x步，y轴上走y步时，平面中不同的终点数
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int x=(n+1)/2,y=n/2;//先走x
	ll ans=0;
	ans+=getit(x,y);
	x=n/2,y=(n+1)/2;//先走y
	ans+=getit(x,y);
	if(n&1)
		printf("%lld\n",ans);
	else printf("%lld\n",ans/2);//若为偶数，则两次算的终点是重合的，除以2
}

C-Row GCD

我承认，考场上看到$10^{18}$就吓坏了。
其实很简单（就是坑多）。
考虑其特性，gcd中每一项都加上了一个相同的数，每次都重算是不现实的，因此，如果能预处理，那再好不过了。于是，gcd的性质中有一条能把加上的数刚好减去。
$$\gcd (a,b)=\gcd (a-b,b)$$

设g=gcd(a,b)
则ab可以表示为
a=x*g,b=y*g
则a-b=(x-y)*g
已知x与y互质，可得 x-y与y也互质(见下)
所以gcd(a-b,b)=g=gcd(a,b)

已知x与y互质，假设 x-y与y不互质
则有
x-y=a*k,y=b*k,k>1
所以,x=(a+b)*k
得gcd(x,y)=k>1，与条件不符

证明过程放在这里，便于越来越菜的我之后回来复习。
所以，对于式子
$$\gcd (a_1+b,a_2+b,\dots ,a_n+b)$$
可以将前两项拿出来看看，就是$\gcd (a_1+1,a_2+1)=\gcd (a_1-a_2,a_2+1)$
所以，整个式子就变成了如下的鸭子：
$$\gcd (a_1-a_2,a_2-a_3,\dots ,a_{n-1}-a_n,a_n+b)$$
所以对于每个b，只要先预处理出前面的一坨，就可以$O(log1e18)$，解决。
$WA，REpoints：$
注意，要先将a从大到小

要特判n=1和前面的一坨gcd=0的情况。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 1<<30
using namespace std;
const int MAXN=2e5+10;
ll gcd(ll x,ll y){return x%y==0?y:gcd(y,x%y);}
ll a[MAXN],b[MAXN];
bool cmp(ll x,ll y){return x>y;}
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lld",&b[i]);
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	ll gd=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		if(a[i]-a[i+1]==0) continue;//0不要参与gcd的运算，小心nan
		if(gd==0) gd=a[i]-a[i+1];
		gd=gcd(gd,a[i]-a[i+1]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(n==1||gd==0) printf("%lld ",a[n]+b[i]);
		else printf("%lld ",gcd(gd,a[n]+b[i]));
	}
}