3060 ProjectEuler 108

传送门

分析

看到这么个窒息的式子，难道不想化简吗？
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$
$n(x+y)=xy$
$nx+ny=xy$
$xy-nx=ny$
$x(y-n)=ny$
$x=\frac{ny}{y-n}$
诶还是没有什么用啊。
那么不妨换元，设$a=y-n$
则$y=a+n$
$x=\frac{n(a+n)}{a}$
$x=n+\frac{n^2}{a}$
诶，对于每个$a$，都有对应的一对$x,y$，那$a$是什么啊？
诶对，是$n^2$的因子……什么？难道枚举$n^2$的因子吗？？？看着$1e9$的$n$，我不禁陷入了沉思……
诶我可以枚举$n$的因子啊，那只要到$\sqrt{n}$就可以了吧(大雾)，于是WA得很惨烈。
咋回事？很简单，4是36的因子，但是在枚举6的因子时没有算。

所以这里写一个能算$n^p$的因子数的方法：分解质因数。对于一个$n$，根据唯一分解定理，一定可以写成$p_1^{i_1}\ast p_2^{i_2}\ast p_3^{i_3}......p_m^{i_m}$，$p$为质数。
所以每个质因子都可以选$0,1,2...,i$个，所以因子总数就是每个质因子个数的乘积。

所以只要素数筛，统计每个质因子个数为$i$，$n^p$中就有$i\ast p$个该因子，加上一个选$0$的可能，这个因子可以选到$i\ast p+1$个。

而筛的时候只要枚举到$\sqrt{n}$，$n$除完了之后，剩下的就是大质数，再处理就可以了。

最后算出了$n^2$的因子数，由于$x\le y$所以有序，要除以$2$，但是，$n\ast n$不能除2，因为只算了一遍。故最后答案是$\frac{cnt+1}{2}$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 1<<30
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;
int p[MAXN];
int main()
{
	ll n,ans=1;
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=2;i*i<=n;i++){
		if(p[i]) continue;
		for(int j=i*2;j*j<=n;j+=i) p[j]=1;
		if(n%i==0){
			ll cnt=0;
			while(n%i==0) n/=i,cnt++;
			ans=ans*(cnt*2ll+1);
		}
	}
	if(n!=1) ans*=3ll;//大质数
	printf("%lld\n",(ans+1)/2);
}