IDDFS 加法链

本题要求从1到n构造一个递增数列,数列中的每个数都是前面数的和,目标是最小化数列长度。IDDFS(迭代加深深度优先搜索)被用来解决这个问题,通过循环枚举数列长度并避免超内存和超时。优化包括避免重复计算和提前跳出搜索条件。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

An addition chain for n is an integer sequence < a0, a1, a2, . . . , am > with the following four properties:
• a0 = 1
• am = n
• a0 < a1 < a2 < · · · < am−1 < am
• For each k (1 ≤ k ≤ m) there exist two (not neccessarily different) integers i and j (0 ≤ i, j ≤ k−1)
with ak = ai + aj
You are given an integer n. Your job is to construct an addition chain for n with minimal length.
If there is more than one such sequence, any one is acceptable.
For example, < 1, 2, 3, 5 > and < 1, 2, 4, 5 > are both valid solutions when you are asked for an
addition chain for 5.
Input
The input file will contain one or more test cases. Each test case consists of one line containing one
integer n (1 ≤ n ≤ 10000). Input is terminated by a value of zero (0) for n.
Output
For each test case, print one line containing the required integer sequence. Separate the numbers by
one blank.
Sample Input
5
7
12
15
77
0
Sample Output
1 2 4 5
1 2 4 6 7
1 2 4 8 12
1 2 4 5 10 15
1 2 4 8 9 17 34 68 77
分析一下题意,是给出一个数n,求从1到n的一个数列,要求这个数列是递增的,且数列中任意一个数都能表示为此数前的数的和。
例如:1 2 4 8 9 17 34 68 77中
2=1+1 4=2+2 8=4+4 9=8+1
以此类推,求最短的数列。
因为要求最短的数列,我们就立刻想到了BFS,但是观察范围1 ≤ n ≤ 10000,
每个节点存这么多,内存肯定要炸。于是又有童鞋想到了DFS,这个不会超内存的,但是超级费时间。所以,这道题,既不能用BFS,也不能直接用DFS。于是,万能的人类创造了IDDFS迭代加深搜索。
先整个循环,枚举数列的长度,从1开始,不断加深,直到能找到数列为止。

while(~scanf("%d",&n)&&n)//多组数据
{
	ans[1]=1;//数列第一个数就是1
	fl=0;//判断是否找到答案
	for(deep=1;;deep++)//迭代加深的循环,deep为数列的长度
	{
		dfs(1,deep);
		if(fl) break;//找到了就退出循环
	}
	for(int i=1;i<deep;i++)
		printf("%d ",ans[i]);
	printf("%d",ans[deep]);//有的OJ上判题很严,末尾不能有空格
	printf("\n");//我就因空格而WA了一次
}

然后就是一个暴力的深搜。
注意:
1、数列长度到了就return,但fl不一定为true。
2、数列递增,所以要判断相加是否大于前一个。
3、优化1:里面枚举相加来得出新元素时,两个for要从大到小,且第二层for要从第一层的值开始,以免重复。(防TLE)
4、优化2:若当前这个数为x,还有y个数可以填,那么最大的那个数为x<<y,如果x<<y比n小,就直接可以跳过,该情况预处理为不存在。(防TLE)

void dfs(int x,int dep)//x为当前长度,dep为目标长度
{
	if(x==dep){
		if(ans[x]==n)
			fl=1;//只有最后一个数等于n时才能结束
		return;
	}
	if(fl) return;
	for(int i=x;i>=1;i--)
	{
		for(int j=i;j>=1;j--)//优化1
		{
			if(ans[i]+ans[j]>ans[x])
			{
				ans[x+1]=ans[i]+ans[j];//处理下一个
				if(ans[x+1]<<(dep-x-1)<n) continue;//优化2
				dfs(x+1,dep);
				if(fl) return;//防止多搜
			}
		}
	}
}

感谢感谢,新手上路,多多指教。

<think>好的,我现在需要帮助用户了解二叉树和加法算法的实现或原理。首先,我需要明确这两个概念以及它们之间的联系。 用户提到了二叉树和加法算法,这两者看起来属于不同的领域。二叉树是数据结构中的基础,而加法算法可能涉及数论或密码学中的优化计算。我需要先分别理解这两个主题,再看看是否有结合点。 首先,二叉树的基本原理。二叉树每个节点最多有两个子节点,常用于搜索、排序等场景。用户提供的引用[1]中提到二叉树在编译器、数据库索引等方面的应用,以及分治算法的引用[3]可能相关,因为二叉树遍历常使用分治思想,比如先序、中序、后序遍历。 然后是加法算法。加法是指一个数列,从1开始,每个后续的数都是前面某两个数的和,目的是用最少的步骤达到目标数。这在计算幂运算时有用,比如快速幂算法,可能和分治策略有关,如通过分解指数来减少乘法次数。例如,计算x^15可以用x -> x^2 -> x^3 -> x^6 -> x^12 -> x^15,这样的能减少计算次数。 接下来,我需要确定用户的问题:他们想知道二叉树和加法算法的实现或原理,可能是在问两者的关系,或者各自的应用。根据现有引用,引用[3]提到分治提升效率,可能快速幂算法就是分治的例子,而二叉树的结构可能用于表示加法的步骤,比如用树结构来存储不同的计算路径,寻找最优。 可能的联系是,在寻找最短加法时,可能需要用二叉树或其他树结构来组织可能的路径,或者利用二叉树的分支特性来优化搜索过程。例如,每个节点代表一个数,子节点代表可能的和,从而构建一棵树来探索所有可能的加法步骤,找到最短路径。 现在需要验证这个思路是否正确。加法的生成通常涉及动态规划或启发式搜索,而二叉树可能用于表示状态空间。不过,可能更常见的是使用图结构而不是严格的二叉树,因为每个数可能有多个父节点组合。因此,可能二叉树在此处的应用并不直接,但分治策略在快速幂中的应用可能与加法有关。 另一个角度是,快速幂算法使用二进制分解指数,类似于加法的思想,而二进制可以表示为二叉树的结构。例如,指数n的二进制每一位对应不同的幂次,可以通过树的分层计算来累积结果,这可能和二叉树的分层结构有关联。 总结可能的回答结构: 1. 二叉树的基本原理和应用,引用已有的引用内容。 2. 加法算法的定义和用途,如快速幂中的优化。 3. 两者的潜在联系,可能是在分治策略或树结构优化中的应用,但目前可能没有直接实现,但可以探讨可能的结合方式。 需要确保回答中的数学公式符合格式要求,比如使用$...$和$$...$$。例如,加法的数学表达式,快速幂的分治步骤等。 可能的问题点:用户提供的引用中没有直接提到加法,需要依赖自己的知识,同时确保正确性。需要检查快速幂算法是否属于加法的应用,比如通过预计算指数分解来减少乘法次数,这确实符合加法的思想。 最后,生成相关问题时要结合二叉树和加法,可能涉及优化算法、分治应用等。</think>### 二叉树与加法算法的原理及联系 #### 1. 二叉树的基本原理 二叉树是一种每个节点最多有两个子节点的树结构,具有以下特性: - **递归定义**:每个子树本身也是二叉树。 - **遍历方式**:通过分治策略实现前序、中序、后序遍历[^3]。例如,中序遍历的递归实现为: ```python def inorder(root): if root: inorder(root.left) print(root.val) inorder(root.right) ``` - **应用场景**:编译器语法解析、数据库索引(如B树)[^1]。 #### 2. 加法算法的原理 加法(Addition Chain)是一个序列$[a_0, a_1, \dots, a_k]$,满足: - $a_0 = 1$ - 每个$a_i = a_j + a_m$($j, m < i$) - 目标是最短长使得$a_k = n$。 **核心作用**:优化幂运算。例如,计算$x^{15}$时,传统方法需14次乘法,而通过加法$x \rightarrow x^2 \rightarrow x^3 \rightarrow x^6 \rightarrow x^{12} \rightarrow x^{15}$仅需5次乘法。 #### 3. 二叉树与加法的联系 虽然两者属于不同领域,但可通过以下方式关联: - **分治策略**:快速幂算法利用指数的二进制分解(类似二叉树的分层结构),将$x^n$分解为$x^{n/2} \cdot x^{n/2}$,时间复杂度为$O(\log n)$[^3]。 - **状态空间表示**:在搜索最短加法时,可用树结构记录中间结果(如每个节点表示一个数,子节点为可能的和),但需剪枝避免重复计算。 #### 4. 快速幂的二叉树视角 以$x^{11}$为例,其二进制为$1011$,分解为: $$x^{11} = x^{8} \cdot x^{2} \cdot x^{1}$$ 通过二叉树可表示为: ``` x^11 / \ x^8 x^2*x^1 / \ x^4 x^4 ``` 每层对应二进制位的指数累乘,体现分治思想。 ### 代码实现(快速幂) ```python def fast_power(x, n): if n == 0: return 1 half = fast_power(x, n // 2) return half * half * (x if n % 2 else 1) ``` ### 引用说明 - 分治策略在快速幂中的应用 - 二叉树的分层遍历与递归结构
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