Virgil's Blog

生成树计数Kirchhoff 矩阵Matrix-Tree 定理

Polya 定理Polya 定理常在算法竞赛中用于解决计数问题。 首先介绍一下理解此定理需要的数学基础：群给定集合 G={a,b,c,…}G=\{a,b,c,\dots\} 和集合 GG 上的二元运算 ∗* ，如果满足：运算 ∗* 是封闭的且是可结合的；存在单位元 ee 和逆元（ aa 的逆元记为 a−1a^{-1} ），则称集合 GG 在运算 ∗* 下是一个群，记为 (G,∗)(G,*) 。置换

基础动态规划线性动规最短路径 pathsA Spy in the Metro小奇挖矿Remember the Word最优构造树树上动规软件安装柠檬当上了警察局长区间动规

图论中的二分图论中最基础的算法是最短路，然而近些年在竞赛中已很少考最短路问题，许多图论题目往往是要求一种十分诡异的东西，这时候我们想直接求是不现实的，二分答案就应运而生了。

线段树

弦图与区间图1. 图论基本概念1.1 子图子图 subgraph图 G=(V,E)G=(V,E) ，则 G′=(V′,E′),V′⊆V,E′⊆EG'=(V',E'),V'\subseteq V,E'\subseteq E 为图 GG 的子图。诱导子图 induced subgraph图 G=(V,E)G=(V,E) ，则 G′=(V′,E′),V′⊆V,E′={(u,v)∣u,v∈V′,(u,v)∈

仙人掌相关问题的处理方法如图所示：仙人掌图就是长得像仙人掌的图嘛（我真没看出哪里像了）定义：对一个无向连通图，任意一条边属于至多一个简单环。桥边：非环边，就是连接环的那些边；环边：就是环中的边嘛。在仙人掌上，父亲和儿子都有节点的和环的之分。DFS 树解决仙人掌 DP 问题仙人掌的处理是十分复杂的（本蒟蒻个人认为，神犇轻喷），这里先从简单的 DFS树开始。树边：DFS 树中存在的边非树边：D

主席树主席树可以解决不适用结合律的区间问题（如区间第 KK 大，区间种类数），这些问题原本是需要繁琐的树套树，而有了主席树就简单很多了。主席树的中心思想是保留历史版本，最暴力的做法是没插入一个节点就新建一棵线段树，但这样会各种爆，其实我们可以只新建有更改的节点，然后直接连边到原来的节点即可。类比普通的线段树，主席树的插入顺序相当于普通线段树的位置，而主席树中的位置是维护的权值。例题[POJ2104]

树链剖分简介树链剖分适用于一些复杂的题目，可以较为充分获取树上的信息，将其转换为线性结构后可以很方便的使用线性数据结构进行处理。那么，树链剖分试讲一棵树如何转化为一条链的呢？之前有前序、中序、后序遍历，而树链剖分与前三种方式相似但不相同。首先，有两个重要的概念：对于一个节点，他的子节点的子树中节点数最多的是他的重儿子，相对地，其他节点成为此节点的轻儿子。对每个节点，我们遍历的时候首先到它的重儿子，在

线性基所以说这种神玩意我怎么可能自己研究嘛，都是搬运的，出处详见参考资料1数学基础1.1 向量空间 vector space定义 (F,V,+,⋅)(F, V, +, \cdot) 为向量空间，其中 FF 为域， VV 为集合， VV 中元素称为向量， ++ 为向量加法， ⋅\cdot 为标量乘法，且运算满足 8 条公理（见维基百科）。1.2线性无关 linearly independent对于向

网络流

两种平衡树比较与应用

点分治是树分治中应用最广泛的一种，常用于解决一类求树上满足条件的点对相关的问题，与其它的算法与数据结构结合后能解决多种类型的树上问题，可以说其作用媲美树链剖分。

Link-Cut Tree由于本文涉及的许多专有名词并没有统一的中文译名，所以本文译名与其他资料不尽相同，尽请谅解。概念 动态树问题, 即要求我们维护一个由若干棵子结点无序的有根树组成的森林. 要求这个数据结构支持对树的分割, 合并, 对某个点到它的根的路径的某些操作, 以及对某个点的子树进行的某些操作.Link-Cut Tree, LCT 是一种能快速解决动态树问题的数据结

最短路FloydDijkstraSPFA物流运输摧毁道路

后缀数组（Suffix Array, SA）是一种在字符串问题中很实用的工具，其主要作用是求多模板匹配和最长公共前缀（LCP）。

LCA

带权并查集[NOI2002] 银河英雄传说[POJ 2492] A Bug's Life[NOI2001] 食物链

对偶图及其应用模型每个平面图 GG 都有一个与之对偶的平面图 G∗G∗ 有如下性质：G∗中的每个点对应 GG 中的一个面对于 GG 中的，每条边 ee ee 属于两个面 f1,f2f_1,f_2 ，加入边 (f∗1,f∗2)(f_1^*,f_2^*)ee 只属于一个面 ff ，加入回边 (f∗,f∗)(f^*,f^*)（图中加入了个绿色边围成的面，需要删除 s∗s

TrieKMPACA

生成树相关问题

二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法

ST求RMQ

寒假集训第一天和最后一天分别考了这两道题，这两道题做法几乎完全一样，可谓首尾呼应，然而我还是没做对（捂脸），果然还是编程能力有问题。两道题做法均为先Kruskal求最大或最小生成树，之后被增求LCA，同时记录最值。所以说我是跟树上倍增有仇吗，今天又考了一道，树上倍增优化动规，然而我把状态转移方程写错了……

POJ 3061 SubsequenceDescription:A sequence of N positive integers (10 < N < 100 000), each of them less than or equal 10000, and a positive integer S (S < 100 000 000) are given. Write a program to find the

快速幂及矩阵

高斯消元

堆

树状数组-模板-求逆序对

拓扑排序

辗转相除法拓展欧几里得算法例题：同余方程 Mod

FFT（快速傅里叶变换, Fast Fourier Transformation)在算法竞赛中的主要应用是加速多项式运算。以多项式乘法为例：朴素算法需要 O(N^2) 的时间复杂度，而经过 FFT 优化后只需要 O(Nlog_2N) 的时间复杂度。数学基础FFT 作为一个数学算法，比起复杂的数据结构，其编程较为简单，但是它对于数学的要求比较高，要想理解此算法必须先有

基础组合数学理论应用[POJ1737]Connected Graph 给定 nn ，求有 nn 个节点的连通图个数。 n≤50n\leq 50直接计算答案并不容易，我们考虑求出所有的可能性后减去不连通的个数。设 f(n)f(n) 为 nn 个节点的连通图个数（答案）， g(n)g(n) 为 nn 个节点的非连通图个数， h(n)h(n) 为 nn 个节点的图的个数。对于 h(n)h(