高斯消元

高斯消元

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=100;
int x[MAXN+1];//解集 
int a[MAXN+1][MAXN+1];//矩阵 
bool free_x[MAXN+1];//标记是否是不确定的变元

inline int gcd(int a,int b){int t;while(b!=0){t=b;b=a%b;a=t;}return a;}//最大公约数 
inline int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;}//先除后乘防溢出，最小公倍数 

/* 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.*/
int guess(int equ,int var)
{
    int i,j,k;
    int rowmax;//当前这列绝对值最大的行
    int col;//当前处理的列
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index; 
    int max_r;
    memset(x,0,var+1);
    memset(free_x,true,var+1);

    col=1;
    for(k=1;k<=equ&&col<=var;k++,col++)//转换为阶梯阵
    {
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        }
        if(max_r!=k)
        {// 与第k行交换.
            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0)
        {// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
            k--;continue;
        }
        for(i=k+1;i<=equ;i++)
        {
            if(a[i][col]!=0)
            {
                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                ta = LCM/abs(a[i][col]);
                tb = LCM/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
                for(j=col+1;j<=var+1;j++)
                {
                    a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
                }
            }
        }
    }

    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，
    //则要记录交换.
        if (a[i][col] != 0) return -1;
    }
    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，
    //即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
    if (k < var)
    {
        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
        for (i = k - 1; i >= 0; i--)
        {
            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，
            //则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
            }
            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，
            //且该变元是确定的.
            temp = a[i][var];
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
            }
            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
        }
        return var - k; // 自由变元有var - k个.
    }
    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
        }
        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
        x[i] = temp / a[i][i];
    }
}
int main()
{
    int i, j;
    int equ,var;
    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for (i = 1; i <= equ; i++)
        {
            for (j = 1; j <= var + 1; j++)
            {
                scanf("%d", &a[i][j]);
            }
        }
        int free_num = guess(equ,var);
        if (free_num == -1) printf("无解!\n");
        else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
        else if (free_num > 0)
        {
            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
            for (i = 1; i <= var; i++)
            {
                if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i);
                else printf("x%d: %d\n", i, x[i]);
            }
        }
        else
        {
            for (i = 1; i <= var; i++)
            {
                printf("x%d: %d\n", i, x[i]);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}