[HAOI2008]圆上的整点

本文介绍了一种基于数论的方法来解决圆上整点计数的问题,通过数学推导和算法实现,给出了如何计算给定半径的圆周上整数坐标的点的数量。

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[BZOJ1041][HAOI2008] 圆上的整点

给定一个圆 x2+y2=r2,r  ,求在圆周上有多少个点的坐标是整数。

n2×108

其实这不是计算几何,而是数论。

x2+y2=r2y=(r+x)(rx)

d=gcd(r+x,rx), 设 A=rxd,B=r+xd
gcd(A,B)=1, 即 A,B 互质.

回带得 y2=d2AB
由于 d2,y2 为完全平方数 , 则 AB 为完全平方数;
gcd(A,B)=1, 排除 A=B 的情况 , 说明 A,B 均为完全平方数.

A=a2,B=b2

a2=rxd,b2=r+xda2+b2=2rd

观察可知: d2R 的一约数,则 1d2r

具体统计的思路是枚举可能的 a,b 看是否满足 gcd(A,B)=1.

我们先枚举 d[1,2r],d2r;
然后对于每一个满足条件的 d 我们就找到了两个约数 d,2rd:

  • 枚举 a[1,rd] (不妨设 a<b ,则 2a22rd) ,则 b=2rda2 ,判断并统计答案;
  • 枚举 a[1,d2] (2a2d), 则 b=da2, 判断并更新答案.

那么我们已经求出了一个象限的圆上整点数 res 了,根据圆的对称性,再统计上坐标轴上的 4 个整点,答案就是 res4+4

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
typedef long long ll;

ll R,ans=0;

ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}

bool check(ll y,double x)
{
    if(x==std::floor(x))
    {
        ll x1=(ll)floor(x);
        if(gcd(x1*x1,y*y)==1&&x1*x1!=y*y)
            return true;
    }
    return false;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&R);
    for(ll d=1;d*d<2*R;d++)
        if((2*R)%d==0)
        {
            for(ll a=1;a*a<=2*R/(2*d);a++)
            {
                double b=std::sqrt(2*R/d-a*a);
                if(check(a,b)) ans++;
            }
            if(d!=2*R/d)
                for(ll a=1;a*a<=d/2;a++)
                {
                    double b=sqrt(d-a*a);
                    if(check(a,b)) ans++;
                }
        }
    printf("%lld\n",ans*4+4);
    return 0;
}
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