[数论] 逆元(附扩欧证明)

最新推荐文章于 2023-08-09 13:52:48 发布

zero_orez6

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分类专栏：数论

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本文详细阐述了扩展欧几里得算法如何用于求解数论中的模逆问题，展示了如何通过递归找到a在模M下的逆元，并给出了一个C++实现示例。核心概念包括逆元的定义、逆元存在的条件及其实现方法，特别强调了在实际问题中的应用，如取模运算和解方程组。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

定义

设a在模M的情况下逆元为b，那么a,b满足a*b%M=1。

a在模M意义下的存在的充要条件为gcd(a,M)=1,逆元主要用来解决数论中出发取模的问题，例如用inv(a)表示a在模M下的逆元，(a/b)%M=(a*inv(b))%M。

扩展欧几里得算法求逆元

扩展欧几里得算法主要用来求解

$a * x + b * y = g c d (a, b)$

我们可以发现当gcd(a,b)=1时，x刚好是a在模b下的逆元

假设我们要处理 $a * x + b * y = 1$ 的解，如果我们求出了b*x1+(a%b)*y1=1的解，那么 $(x, y)$ 和 $(x 1, y 1)$ 是否有关系呢？

$b * x 1 + a$ % $b * y 1 = 1$

化成

$b * x 1 + (a - (a / b) * b * y 1) = 1$

整理得

$a * y 1 + b * (x 1 - a / b * y 1) = 1$

即

$(x = y 1, y = x 1 - a / b * y 1)$

这样我们就可以通过递归来求出逆元了，终止条件为b=0时,x=1,y=0。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=9973;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩展欧几里得算法 
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	LL ans=exgcd(b,a%b,x,y);
	LL t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return ans;
}
LL inv(LL a,LL m)//a在模m下的逆元 
{
	LL ans,gcd,x,y;
	gcd=exgcd(a,m,x,y);
	if(gcd!=1) return -1;
	m=abs(m);
	ans=x%m;
	if(ans<=0) ans+=m;//防止ans为负数 
	return ans; 
} 
int main()
{
	LL T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		LL a,b;
		cin>>a>>b;
		cout<<(a%mod*inv(b,mod))%mod<<endl;
	} 
	return 0;
}