逆元详解

最新推荐文章于 2018-03-07 21:50:35 发布

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本文介绍了数论中逆元的三种求法：利用费马小定理进行快速幂计算；使用扩展欧几里得算法解决线性同余方程；以及通过递推公式批量求解逆元。

数论逆元是指 a*x = 1 (mod m) x为最小的整数

第一种，费马小定理,要求m为素数

这里写图片描述

用快速幂求pow(a,m-2) (mod m)

int power(int a,int b){
    int ans = 1;
    a %= m;
    while(b){
        if(b&1)
            ans = ans * a % m;
        b >>= 1;
        a = a * a % m;
    }
    return ans;
}

第二种，用拓展gcd,要求a与m互质

ax + my = 1 (gcd(a,m) = 1),求解的x即为a关于m的逆元

int e_gcd(int a,int b,int& x,int& y){
    if (b == 0) {x = 1;y = 0;return a;}
    else{
        int d = e_gcd(b, a % b, y, x);
        y -= x * (a / b);
        return d;
    }
}

第三种，m为奇质数（所以m=2不满足），O（n）求n个数的逆元

    inv[i] = (m-m/i)*inv[m%i]%m

证明：

设       t=m/i,k=m%i
则       t*i+k=0                     (mod m)
同除i     t+k*inv[i] = 0              (mod m)
移项      inv[i]*k = m-t              (mod m) 
同除k     inv[i] = (m-t)*inv[k]       (mod m)
代入      inv[i] = (m-m/i)*inv[m%i]%m

递推代码

#include<cstdio>
const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int inv[N];
int init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
    }
}
int main(){
    init();
}

递归代码

#include<cstdio>
typedef long long LL;
LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下 
    return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}
int main(){
    LL a, p;
    while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
        printf("%lld\n", inv(a%p, p));
    }
}