(乘法)逆元证明·求解·模板

复习之路：

关于逆元，我们首先知道一个叫做“完全剩余系”的东西，记为Zn,即mod n剩下的数；

还有一个叫做 “缩系”的东西，就是Zn中与n互质的元素，记为Zn*；

那么在Zn中，若ab = 1 ，那么a的逆就是b，b的逆就是a，类似于倒数，只不过这些都是mod n剩下的；

而要说的乘法逆元的定义就如上所示。

我们要求乘法逆元有两种方式，首先介绍三个定理：

1、之前讲到的乘法逆元，即ax = 1 (mod p),根据EXGCD我们知道要求gcd(a, p) = 1;

2、费马小定理：

    如果说a是整数，p是质数，那么a^p - a = k * p(p的倍数);即 a^p = a (mod p)；

    如果说a不是p的倍数那么我们有a^(p-1) = 1（mod p）因为若果a是p的倍数该等式是不成立的

3、扩展欧几里得（EXGCD），详情见：

一、根据如上定理我们来看为什么可以用费马小定理来求解乘法逆元：

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