开卡包的期望

问题描述

目前有N个卡包，K种卡牌，每次开卡包等概率的开出K种卡牌中任意一张
求N个卡包能够开出的卡牌种类期望数
开出所有种类的卡包期望数

问题1

设随机变量 X 表示 N 包卡包开出的卡牌种类数，每张卡牌未被开出的概率为 ${\left(1-\frac{1}{k}\right)}^N$ 。
根据期望线性性质， X 的期望为：

$E(X)=k\cdot \left[1-{\left(1-\frac{1}{k}\right)}^N\right]$

• 对每张卡牌定义指示变量 $X_i$（开出第 i 张牌时 $X_i=1$ ，否则为 0 ）。
• 单张卡牌未被开出的概率为 ${\left(1-\frac{1}{k}\right)}^N，故E(X_i)=1-{\left(1-\frac{1}{k}\right)}^N$ 。
• 总期望 $E(X)=K\ast (1-{\left(1-\frac{1}{k}\right)}^N)$

问题2

设 X 为收集所有 k 种卡牌所需的开包次数。将 X 分解为 k 个阶段的随机变量之和：

$X=X_1+X_2+\cdots +X_k$

其中 $X_i$表示从已收集 i-1 种卡牌到收集第 i 种卡牌所需的开包次数。

$第1阶段（X_1）：初始时未收集任何卡牌，每次开包必获得新卡牌，因此X_1=1$ 。
$第i阶段（X_i,i\ge 2）：已收集i-1种卡牌，剩余k-(i-1)=k-i+1种新卡牌。此时每次开包获得新卡牌的概率为p_i=\frac{k-i+1}{k}，因此X_i服从参数为p_i的几何分布。几何分布的期望为\frac{1}{p_i}，即：\mathbb{E}[X_i]=\frac{k}{k-i+1}.$

根据期望的线性性质，总期望为各阶段期望之和：

$\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[X_1]+\mathbb{E}[X_2]+\cdots +\mathbb{E}[X_k].$

代入各阶段期望：

$\mathbb{E}[X]=1+\frac{k}{k-1}+\frac{k}{k-2}+\cdots +\frac{k}{1}=k\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{k}\right).$

这里用到了调和数 $H_k=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{k}$，因此最终期望为：

$\mathbb{E}[X]=k\cdot H_k.$

结论：

无论卡包种类数 n 是多少（只要每种卡包开出每张卡牌的概率均为 1/k ），收集所有 k 种卡牌的期望开包次数为：

$\boxed{k\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k}\right)}$

或用调和数表示为：

$\boxed{k\cdot H_k}$